2018 年秦淮区二模
数 学 2018.06.05
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分）
1．计算10 + ( -24) ÷ 8 + 2 ⨯ ( -6) 的结果是 （ ） A ． -5 B ． -1 C ． 1
D ． 5
2．计算 26 ⨯ (22 )3
÷ 24 的结果是 （ ）
A ． 23
B ． 27
C ． 28
D ． 29 3．已知圆锥的母线长为 12，底面圆半径为 6，则圆锥的侧面积是 （ ）
A ． 24π
B ． 36π
C ． 70π
D ． 72π
4．甲、乙两位射击运动员参加射击训练，各射击 20 次，成绩如下表所示：
甲 乙
设甲、乙两位运动员射击成绩的方差分别为 S 甲 2 和 S 乙 2 ，则下列说法正确的是（ ） A ．S 甲 2 ＜S 乙 2 B ．S 甲 2＝ S 乙 2 C ．S 甲 2＞ S 乙 2 D ． 无法比较S 甲 2 和 S 乙 2的大小 5．某农场开挖一条 480m 的渠道，开工后，每天比原计划多挖 20m ，结果提前 4 天完成任务．若 设原计划每天挖 x m ，根据题意，下列方程正确的是 （ ）
A ．480480420x x -=-
B ．480480
20+4x x -= C ．4804804+20x x -=
D ．480480
204x x -=-
6．下列函数的图像和二次函数 y = a ( x + 2)2
+ 3 （ a 为常数， a ≠ 0 ）的图像关于点 （1，0）对称的是 （ ）
A ． y = -a ( x - 4)2 - 3
B ． y = -a ( x - 2)2
- 3
C ． y = a ( x - 4)2 - 3
D ． y = a ( x - 2)2
- 3
二、填空题（本大题共 10 题，每小题 2 分，共 20 分）
7．10 =
， 2-2 = ．
8．每年四、五月间，南京街头杨絮飞舞，如漫天飞雪，给市民生活带来了不少烦恼．据测定， 杨絮纤维的直径约为 0.0000105 m ，将 0.0000105 用科学计数法可表示为 ．
9在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ．
10．分解因式 b 3 - b 的结果是
．
11．若 A （1，m ）在反比例函数y =2x
的图像上，则 m 的值为 .
12．如图，AB 是半圆的直径，C 、D 是半圆上的两个点，若∠BAD =55°，
则∠ACD = °．
（第 12 题）
（第 13 题）
13．如图，CF 、CH 是正八边形 ABCDEFGH 的对角线，则∠HCF =
°．
14．已知 x 与代数式 ax 2 + bx + c 的部分对应值如下表：
则
b c
a
+的值是 ．
15．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于点 O ，点 E 、F 、G 、H 分别在 AD 、AB 、
BC 、CD 上，且四边形 EFGH 为正方形，若 AC = 24 ， BD = 10 ，则正方形 EFGH 的边长 是 ．
D
C
（第 15 题） 16．四边形 ABCD 的对角线 AC 、BD 的长分别为 m 、n ．当 AC ⊥BD 时，可得四边形 ABCD 的
面积 S =12
mn ；当
AC 与 BD 不垂直时，设它们所夹的锐角为θ ，则四边形 ABCD 的面积 S =
．（用含 m 、n 、θ 的式子表示）
三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分）
17．（6 分）解不等式组2(2)3312
3x x x x -≤-⎧⎪
+⎨⎪⎩，并写出不等式组的整数解．
18．（6 分）计算
2211
(2)()a a a a -+
÷-
19．（8 分）某校有3000 名学生．为了解全校学生的上学方式，该校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了该校部分学生的主要上学方式（参与问卷调查的学生只能从以下六个种类中选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
某校部分学生主要上学方式扇形统计图某校部分学生主要上学方式条形统计图
根据以上信息，回答下列问题：
⑴ 参与本次问卷调查的学生共有人，其中选择B 类的人数有人．
⑵ 在扇形统计图中，求E 类对应的扇形圆心角 的度数，并补全条形统计图．
⑶ 若将A、C、D、E 这四类上学方式视为“绿色出行”，请估计该校每天“绿色出行”的学
生人数．
20．（8 分）甲、乙、丙三名同学准备去公园游玩，他们每人分别从玄武湖公园和莫愁湖公园中随机选择一家．
⑴丙同学选择去玄武湖公园游玩的概率是．
⑵求甲、乙、丙三名同学恰好选择了同一家公园的概率．
21．（8 分）有下列命题
①一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
③一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形．
④一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形．
⑴上述四个命题中，是真命题的是（填写序号）；
⑵请选择一个真命题进行证明．（写出已知、求证，并完成证明）
已知：．
求证：
．
证明：
（第21 题）
22．（8 分）按要求完成下列尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．
⑴如图①，线段AB 沿某条直线l 折叠后，点A 恰好落在A ' 处，求作直线l ．
⑵如图②，线段MN 绕某个点O 顺时针旋转60°后，点M 恰好落在点M ' 处，求作点O．
A'
M'
① ②
（第22 题）
23．（8 分）如图，长度为6m 的梯子AB 斜靠在垂直于地面的墙OM 上，梯子和水平地面的夹角为60°．若将梯子的顶端A 竖直向下移动，记移动后的位置为A ' ，底端B 移动后的位置为B ' ．研究发现：当AA ' ≤ 0.9 m 时，梯子可保持平衡，当AA ' > 0.9 m 时，梯子失去平衡滑落至地面．在平衡状态下，求梯子与地面的夹角∠A ' B ' O的最小值．
1.73 ，sin 45︒40 ' ≈ 0.715 ，cos 45︒40 ' ≈ 0.699 ，sin 44︒20 ' ≈ 0.699 ，
cos 44︒20 ' ≈ 0.715 ，sin 20︒30 ' ≈ 0.35 ，cos 20︒30 ' ≈ 0.94 ）
（第23 题）
24．（8 分）已知函数y =-x2 +(m- 2)x +1 （m 为常数）．
⑴求证：该函数与x 轴有两个交点．
⑵当m 为何值时，该函数图像的顶点纵坐标有最小值？最小值是多少？
25．（8 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径作⊙O，分别交AC、BC 于点D、E，点F 在AC 的延长线上，且∠A=2∠CBF．
⑴求证：BF 与⊙O 相切．
⑵若BC =CF = 4 ，求BF 的长度．
（第25 题）
26．（10 分）甲、乙两车同时从A 地出发，匀速开往B 地．甲车行驶到B 地后立即沿原路线以原速度返回A 地，到达A 地后停止运动；当甲车到达A 地时，乙车恰好到达B 地，并停止运动．已知甲车的速度为150km/h．设甲车出发x h 后，甲、乙两车之间的距离为y km，图中的折线OMNQ 表示了整个运动过程中y 与x 之间的函数关系．
⑴A、B 两地的距离是km，乙车的速度是km/h；
⑵指出点M 的实际意义，并求线段MN 所表示的y 与x 之间的函数表达式；
⑶当两车相距150km 时，直接写出x 的值．
y
1 2 3 4 5 67 8 9x/h
（第26 题）
27．（10 分）
我们知道，对于线段a、b、c，如果a2 =b ⋅c ，那么线段a 叫作线段b 和c 的比例中项．
⑴观察下列图形：
①如图①，在△ABC 中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D；
②如图②，在△ABC 中，AB=BC，∠B=36°，∠ACB 的平分线交AB 于点D；
③如图③，A 是⊙O 外一点，AC 与⊙O 相切，切点为C，过点A 作射线，分别于⊙O
相交于点B、D．
其中，AC 是AD 和AB 的比例中项的是（填写序号）．
B
①②③
⑵ 如图④，直线 l 与⊙O 相切于点 A ，B 是 l 上一点，连接 OB ，C 是 OB 上一点．若⊙O 的半径 r 是 OB 与 OC 的比例中项，请用直尺和圆规作出点 C ．（保留作图痕迹， 不写作法）
l
④ ⑤
⑶ 如图⑤，A 是⊙O 1 外一点，以 O 1 A 为直径的⊙ O 2 交⊙ O 1 于点 B 、C ， O 1 A 与 BC 交于点 D ，
E 为直线 BC 上一点（点 E 不与点 B 、C 、D 重合），作直线 O 1 E ，与⊙ O 2 交于点
F ， 若⊙ O 的半径是 r ，求证： r 是 O E 与 O F 的比例中项．。