集合的概念及其运算
【知识概述】 ,,;,,.
A
A A A A
B B A A A A A A A B B A =∅=∅==∅== 全集与补集
）全集：用U 来表示.
{}
【学前诊断】
1．[难度] 易
已知集合A =｛x | x ( x -1) = 0｝，那么（ ）
A. -1∈A
B. 1∉A
C. 0∈A
D. 0∉A
2．[难度] 易
已知,A B 均为集合{1,3,5,7,9}U =的子集，且{3}A B =，(){9}U B A =ð，则
A =（ ）．
A ．{1,3}
B ．{3,7,9}
C ．{3,5,9}
D ．{3,9}
3．[难度] 易
设2{4}, {4}P x x Q x x =<=<，则（ ）
A ．P Q ⊆
B ．Q P ⊆
C ．R P Q ⊆
ð D ．R Q P ⊆ð
【经典例题】
例1．已知集合{}1,3,A x =集合{}
21,B x =，若B A ⊆，则满足条件的实数x 的个数是（ ）
A ．1 B.2 C.3 D.4
解：因为B A ⊆，所以23x =，或2x x =．
解得x =0, 1x =．
当1x =时，,A B 中元素不满足互异性，故1x ≠；
当x =0时，A ={1,3,0}，B ={1,0}，满足条件； 当3=x 时，A ={1,3，3}，B ={1,3}，满足条件； 当3-=x 时，A ={1,3，3-}，B ={1,3}，满足条件；
故满足条件的实数x 有3个．
例2．设集合1,24k M x x k ⎧
⎫==
+∈⎨⎬⎩⎭Z ，1,42k N x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭
Z ，则（ ） A.M N = B.M N C.M N D. M N =∅
解：集合M 的元素为：4
12412+=+=k k x ()k ∈Z ， 因为21k +为奇数，所以集合M 中的元素为 43,41,41,43,--
. 集合N 的元素为：12424
k k x +=+=()k ∈Z ， 因为2k +为整数，所以集合N 中的元素为 4
3,42,41,0,41,42,43,---. 故M N ，因此选B ．
例3．已知集合{}{}1,2,3,4,5,6,7,2,4,5,7U A ==，{}3,4,5B =，则()()U U A B 痧=( )
A ．{}1,2,3,6,7 B. {}2,3,4,5,7 C. {}4,5 D. {}1,6
解：{1,3,6}U A =ð，{1,2,6,7}U B =ð，故()
(){1,2,3,6,7}U U A B =痧．因此选A ．
例4． 设集合{}1,2A =，则满足{}1,2,3A B =的集合B 的个数是（ ）
A ．1 B. 3 C. 4 D. 8
解法1：因为{1,2}A =，{1,2,3}A B ⋃=，则集合B 中必含有元素3．
故{3}B =，或{1,3}B =，或{2,3}B =，或{1,2,3}B =，共4个．因此选C ．
解法2：注意到集合B 中必含有元素3，而B 中其他元素应当由从A 中取0个、1个、
2个元素而得到，这相当于求集合A 的子集的个数问题．
而集合A 有2个元素，故A 的子集共有224=个，于是满足题目条件的集合B 共有4
个．选C ．
例 5．设集合{}{}23,8,S x x T x a x a S T =->=<<+=R ，则a 的取值范围是（ ）
A ．31a -<<- B. 31a -≤≤-
C. 3a ≤-或1a ≥-
D. 3a <-或1a >-
解：由23x ->，得23x -<-，或23x ->．
所以1x <-，或5x >，即(,1)
(5,)S =-∞-+∞． 又S T =R ，结合图形，
可知有1,85,
a a <-⎧⎨+>⎩ 解得3 1.a -<<- 因此选A ．
5-1a+8
a
例 6．定义集合运算{}
(),,A B z z xy x y x A y B ⊗==+∈∈，设集合{}{}0,1,2,3A B ==，
则集合A B ⊗的所有元素之和为（ ）
A ． 0 B.6 C.12 D.18
解：当0x =时，不论2y =还是3y =，都有0z =．
当1x =时，若2y =，则12(12)6z =⨯+=；
当1x =时，若3y =，则13(13)12z =⨯+=． {0,6,12}A B ⊗=，故所有元素之和为18，因此选D ．
例 7．已知集合(){}
{}2,20,(,)10,02A x y x mx y B x y x y x =+-+==-+=≤≤，又,A B ≠∅求实数m 的取值范围.
解：联立220,10
x mx y x y ⎧+-+=⎨-+=⎩消去y ，得2(1)10x m x +-+=. （*）
因为A B ≠∅，所以220,10
x mx y x y ⎧+-+=⎨-+=⎩在02x ≤≤上有解，
即2(1)10x m x +-+=在02x ≤≤上至少有一个根．
故0∆≥，即2(1)40m --≥，解得1m ≤-，或3m ≥．
当3m ≥时，两根和12(1)0x x m +=--<，两根积121x x =，
故方程（*）只有负根，因此3m ≥不可能．
当1m ≤-时，两根和12(1)0x x m +=-->，两根积121x x =，
故方程（*）两根都是正数，且互为倒数．
因此方程（*）在02x ≤≤上至少有一个根，所以1m ≤-．
【本课总结】
1. 集合中的元素具有“确定性、互异性、无序性”三个特性，在解题时要注意运用，
题目解出来后要注意检验其元素是否满足这三个性质，尤其是集合元素的“互异性”最容易被忽视，应引起足够的重视.
2. 用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型.一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示.
3. 含有n 个元素的集合有2n 个子集，21n
-个真子集.
4. 集合的运算性质：
对于任意两个集合A ，B ，有 (),;
,;
,;,,;;
;
;
U U U U A B B A A B B
A A A A A A A A A A A
B A B A A B B A A U A A A A ====∅=∅∅=⊆====∅=如果则ðð痧
()U A B =ð()
()U U A B 痧； ()U A B =ð()
()U U A B 痧．
【活学活用】
1. [难度] 易
已知集合S ={a ，b ，c }中的三个元素分别是∆ABC 的三边长，那么∆ABC 一定不是（ ）.
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
2. [难度] 易 设集合{}{}213,32A x x B x x =+<=-<<，则A B ⋂等于（ ）.
A. {}31x x -<<
B. {}12x x <<
C. {}3x x >-
D. {}1x x <
3．[难度] 中
设{}0,1,2,3U =，{}20A x U x mx =∈+=，若{}1,2U A =ð，则实数m =_________．。