中考几何模型解题法研修课论文宋海平第一讲以中招真题为例讲解在几何题中，与角平分线的四类模型：夹角模型、角平分线加垂直模型、角平分线加平行线模型、四边形对角互补角平分线模型。
第二讲弦图是证明勾股定理时所构造出来的图形。
本讲将从弦图出发，抽离出相似模型，及通过变形得到的高级相似模型，培养学生利用模型快速解决几何证明题的能力。
第三讲在熟悉A字型相似、8字型相似及各自变形的基础上，培养学生从题目中寻找相似基本模型的能力，从而使其能够灵活利用模型来解决几何证明题。
第四讲中考数学题中，求线段和最大值、线段差最小值的题目出现频率较高。
本讲通过作图，利用轴对称的性质将线段进行转移，利用奶站模型、天桥模型帮助学生找到解题的突破口，提高做题效率。
第五讲几何题目中经常会出现大角中间夹着一个半角的条件（如90度角，中间夹一个45度角），用来求线段或图形的数量关系。
本讲把这一条件总结为大角夹半角模型，帮助学生从题目特征入手，按照模型不同的特征采取不同的处理方法，快速找到题目的突破口，提升解题的效率。
第六讲本讲重点讲解根据题目条件，通过构造圆，把问题放到圆的背景下，利用圆的性质解决问题。
培养学生把几何的三大板块：三角形，四边形和圆统一起来解决问题，做到融会贯通。
一、角平分线模型一、精讲精练【模型一】夹角模型、分别是∠、∠的角平分线，则：∠90°+12∠B．、分别是∠、∠的角平分线，则：∠12∠A．、分别是∠、∠的角平分线，则：∠90°-12∠B．图1FEDCBA1. 如图，在△中，∠B ＝60°，∠A 、∠C 的角平分线、相交于O ．求证：＝．2. （2011湖北黄冈）如图，△的外角∠的平分线与内角∠平分线交于点P ，若∠40°，则∠.3. （2011年山东临沂）如图，△中，，、分别是两个外角的平分线.（1）求证：；（2）若∠60°，求证：四边形是菱形.FE DC B A【模型二】角平分线加垂直⊥，，是∠的平分线，⊥，则: 12．4. （2011大连）在△中，∠A ＝90°，点D 在线段上，∠＝12∠C ，⊥，垂足为E ，与相交于点F ． （1）当＝时（如图1），①∠＝°；②探究线段与的数量关系，并加以证明；ACEF图2O FECBAFE BAO M N（2）当＝时（如图2），求BEFD的值（用含k 的式子表示）．【模型三】角平分线加平行线是∠的角平分线，∥， 则：．5. （2011江苏宿迁）如图，在梯形中，∥，∠的平分线与∠的平分线的交点E 恰在上．若＝7，＝8，则的长度是 ．ED CBA6. （2011山东滨州）如图，在△中，点O 是边上（端点除外）的一个动点，过点O 作直线∥.设交∠平分线于点E ，交∠的外角平分线于点F ，连接、.那么当点O 运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论.【模型四】四边形对角互补模型∠∠180°，是∠的平分线， 则．7. （2011年山东临沂前两问）如图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点E 与正方形的顶点A 重合，三角板的一边交于点F ，另一边交的延长线于点G . （1）求证：；（2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形的对角线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．弦图模型。
一、 知识提要1. 弦图基本模型 模型一：cba图2EABCDFG图1GFD CBE(A )模型二：2. 弦图模型之变形二、 专项训练【板块一】弦图基本模型1. 如图，△中，⊥，垂足为D ，⊥，垂足为E ，求证：22AC AEBC CE．2. 如图，梯形中，，∠90°，E 为上一点，且⊥．若12，7，：1：2，则的长为．3. 在△中，4，2，以为边向△外作△，使△为等腰直角三角形，求线段的长. 【板块二】弦图模型之变形4. （2011乌鲁木齐）如图，等边三角形的边长为3，点P 为边上一点，且1，点D为边上ca b一点，若∠60°，则的长为.5. （2011锦州）如图，四边形，M 为边的中点．若∠∠∠45°，8，9，则的长为（ ）ABCDA ．3B ．4C ．5D ．66. （2011荆州）如图，P 为线段上一点，与交干E ，∠∠∠B ，交于F ，交于G ，则图中相似三角形有（ ）PGFEDC BAA ．1对B ．2对C ．3对D ．4对7. 在△中，，∠90°，点M 是上的一点，点N 是上的一点，沿着直线折叠，使得点C 恰好落在边上的P 点，求证：：：．相似基本模型三、 知识提要1. 相似基本模型1：“A ” 字型相似及其变形11112.相似基本模型2：“8”字型相似及其变形四、专项训练1.四边形是△内接正方形，21，高15，则内接正方形边长.I GHFE D CBA2.如图，在△中，∠∠B，6，10，8，则的长度为（）A.B.C.3D.3.如图，直角梯形中，∠90°，∥，，E为梯形内一点，且∠90°，将△绕C点旋转90°使与重合，得到△，连接交于M．已知5，3，则：的值为（）MFEDCBAA.5：3B.3：5C.4：3D.3：44.如图，在平行四边形中，M，N为的三等分点，连接并延长交于E点，连接并延长交于F点，则：等于（）NMF ED CBAA .1：3B.1：4 C .2：5D .3：85. 如图，半圆O 的直径7，两弦、相交于点E ，弦27，且5，则等于.6. 已知：如图，△中，＝，＝，求证：＝3.C FEDB A7. 已知：如图，梯形中，∥，E 是的中点，直线分别与对角线和的延长线交于M 、N 点，求证：：＝：.NMD CBA巧用轴对称解线段和差最值【板块一】线段和最小1. 如图，正方形的面积为12，△是等边三角形，点E 在正方形内，在对角线上有一点P ，使的和最小，则这个最小值为（ ）A ．3B ．6C ．3D 6AD E PBC ADE P B C2. 如图，在五边形中，∠120°，∠∠90°，，，在，上分别找一点M ，N ，使得△周长最小时，则∠ + ∠的度数为（ ）A . 100°B . 110°C . 120°D . 130°N ME D CB A3. 如图， 在锐角△中， 4245°,∠的平分线交于点D ，M ，N 分别是，上的动点，则的最小值是.MDCBA4. （2011福州）已知，如图，二次函数223(0)y ax ax a a =+-≠图象的顶点为H ，与x 轴交于A 、B 两点（B 在A 点右侧），点H 、B 关于直线3:3l y x =+. （3）过点B 作直线∥交直线l 于K 点，M 、N 分别为直线和直线l 上的两个动点，连接、、，求的最小值.l HxKBO A y5. 已知四边形在坐标系中的位置如图所示，则当四边形的周长最小时， ．P(a,0)Q(a+2,0)B(4,-1)A(1,-3)xyO【板块二】线段差最大6.（2009四川眉山）如图，已知直线112y x=+与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线212y x bx c=++与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为 (1，0)．(3)在抛物线的对称轴上找一点M，使MA MC-的值最大，求出点M的坐标．大角夹半角模型原题剖析：如图，已知在正方形中，E、F分别是、上的点，若有∠45°，求证：．模型提取：CABEF M N 图①题型对比：1.（2008天津）已知△中，︒=∠90ACB ，CB CA =，有一个圆心角为︒45，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线，分别与直线AB 交于点M ，N ．（Ⅰ）当扇形CEF 绕点C 在ACB ∠的内部旋转时，如图①，求证：222BN AM MN +=；（Ⅱ）当扇形绕点C 旋转至图②的位置时，关系式222BN AM MN +=是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．实战训练2. （2010重庆改编）边长为2的等边△的两边、上有两点M 、N ，D 为△外一点，且∠60°，∠120°，. 探究：当M 、N 分别在、上移动时， △的周长是否为定值？典型特例：3.如图，点C 、D 在线段上，△是等边三角形，且∠120°，3，设、，求y 关于x 的表达式．4.如图，在△中，2，∠20°．动点P 、CABE F MN 图②Q 分别在直线上运动，且始终保持∠100°．设， ， 求y 与x 之间的函数关系式.5.如图，将两个全等的等腰直角三角形与摆放在一起，A 为公共端点，∠∠90°，它们的斜边长为2，若△固定不动，△绕点A 旋转，、与边的交点分别为D 、E （D 、E 不与B 、C 重合），设，.（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一组进行证明；（2）求m 与n 的函数关系式，直接写出自变量的取值范围．6. 如图，在△中，已知∠45°，⊥于D ，2，3，求△的面积．四点共圆【板块一】对角互补1. 如图，在△中，⊥于D ，⊥于N ，⊥于M ，求证：∠∠B ．NMDCBA2.如图，在四边形中，已知∠60°，∠90°，∠120°，对角线，交于点S，且2，P为的中点．求证：（1）∠30°；（2）．【板块二】同线段同侧所张的角相等3.如图，在四边形中，＞，A在的垂直平分线上，D在的垂直平分线上，且∠∠，则∠∠（）A．90°B．120°C．150°D．180°4.正方形的中心为O，面积为1989cm2．P为正方形内一点，且∠45°，：5：14．则．5.如图，在△中，已知⊥，⊥，与相交于点H，P为边的中点，过点C作⊥，垂足为Q，求证：2•．6.如图，在△中，，⊥，垂足为D，E为的中点，⊥，垂足为F，交于点G．求证：∠∠．。