二次函数的综合应用
最大利润问题
学习目标
1.能够分析和表示实际问题中变量之间 的二次函数关系; (等量关系)
2.能够运用二次函数的知识求出实际取 值范围内的利润最大值。
复习回顾 销售问题相关等量关系
1.总价、单价、数量的关系： 总价= 单价×数量
2.利润、售价、进价的关系: 利润= 售价－进价
3.利润率、利润、成本的关系：
(1)求出每天的销售量y (件)与销售单价x (元)之间的函数关系式，并写出x的取值
范围;
(2)求出每天的销售利润W (元)与销售单价x (元)之间的函数关系式，并求出当x
为多少时，每天的销售利润最大，并求出最大值;
(3)若该公司要求每天的销售利润不低于4000元，但每天的总成本不超过6250元
，则销售单价x最低可定为多少元?
售价
进价
销量
正常情况
50
40
售价上涨
50+x
40
210 210-10x
总利润= 单件利润×数量 = （售价—进价）×数量
【答案与解析】
(1)y＝(210-l0x)(50+x-40)＝-10x2+110x+2100(0<x≤15且x为整数)． (2)y＝-10(x-5.5)2+2402.5． ∵ a＝-10＜0，∴ 当x＝5.5时，y有最大值2402.5． ∵ 0<x≤15，且x为整数， ∴ 当x＝5时，50+x＝55，y＝2400(元)；
【总结升华】
做此类应用题时，要明确题目中所给的信息，并找到其中相等的量 可以用不同的表达式表示就可以列出方程．
2018年中考题
23.某公司设计了一款产品，每件成本是50元，在试销期间，据市场调查，销售
单价是60元时，每天的销量是250件，而销售单价每增加1元，每天会少售出5件
，公司决定销售单价x (元)不低于60元，而市场要求x不得超过100元.
当x＝6时，50+x＝56，y＝2400(元)． ∴ 当售价定为每件55元或56元时，每个月的利润最大，最大的
月利润是2400元． (3)当y＝2200时，-10x2+110x+2100＝2200， 解得x1＝1，x2＝10． ∴ 当x＝1时，50+x＝51；当x＝10时，50+x＝60． ∴ 当售价定为每件51元或60元时，每个月的利润为2200元．
求出最值（对称轴数值在自变 量取值范围内）
根据函数增减性利用端点值求 最值（对称轴不在自变量取值范围内）
例题：某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每 件商品的)．设每件商品 的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为)y元． (1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少 元? (3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上的结论，请 你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元?
售价
进价/成本
销量
正常情况
60
售价改变
x
50
250
50
250-5x ×
250-5（x-60）
2017年中考题
2019年中考题
解决利润最大化问题
基本思想：转化、建模 基本方法：二次函数 基本步骤:1.设自变量 、函数
用列表法分析数量关系 2.建立函数解析式 3.结合实际确定自变量取值范围 4.利用顶点公式（或顶点式）
利润率= 利润÷成本×100﹪
4.总利润、单件利润、数量的关系:
总利润= 单件利润×数量 = （售价—进价）×数量
复习回顾 1.求下列二次函数的最大值或最 小值：
⑴ y=－x2＋2x－3; x=1时，ymax=-2
⑵ y=（x－2）2+4（ -1≤x≤1 ） x=-1时，ymax=13， x=1时，ymin=5.