6.2.3 特征值屈曲预报（分析手册）By wild_field综述特征值屈曲分析：·通常被用于估计刚性结构的分叉载荷；·为线性扰动过程；·可作为未承载结构分析的第一个分析步，也可以对预加载后的结构进行分析——如果结构已经被预加载，屈曲载荷从预加载情况算起；·可用于结构的缺陷敏感性研究； ·不能用于包含子结构的模型中。
常规特征值屈曲在特征值屈曲问题中，载荷使模型的刚度矩阵变得奇异，因此以下方程具有非无效解：0MN M K v =MN K 为载荷施加时的切线刚度矩阵；M v 为非无效位移解。
施加的载荷可以为压力、集中力、非零位移及热载荷。
特征值屈曲一般被用来分析刚性结构的分叉载荷（经典特征值屈曲）。
刚性结构承受设计载荷主要为轴向或膜行为，而不是弯曲行为。
在屈曲前其变形通常非常小。
刚性结构的一个简单的例子就是欧拉柱，承受压缩载荷，在未达到分叉载荷前其反映非常刚硬，达到分叉载荷后，试件突然弯曲，表现出非常低的刚度特性。
然而，即使结构的反映在屈曲前表现为非线性，常规的特征值屈曲分析也能对屈曲模态形状提供非常有用的估计。
基础状态屈曲载荷的计算是相对于结构的基础状态的。
如果特征值屈曲过程是分析的第一步，初始条件即为基础状态；反之，基础状态为最后一个广义分析步结束时模型的当前状态（参见“General and linear perturbation procedures,” Section 6.1.2）。
因此，基础状态可以包含预加载载荷N P （“dead ”载荷）。
传统的特征值屈曲问题预加载载荷通常为零。
如果在特征值屈曲分析前考虑了几何非线性（参见“General and linear perturbation procedures,” Section 6.1.2），几何基础状态为最后一个广义分析步结束时变形后的几何构型。
如果没有考虑几何非线性，几何基础状态为几何初始构型。
特征值问题递增载荷曲线N Q 在特征值屈曲预测步中定义。
这个载荷的大小并不重要，它可由载荷乘积因子i λ缩放：()00NM NM M i i K K v λ∆+=，这里 0NM K 为对应于基础状态的刚度矩阵，它包含预加载载荷N P （若有的话）的影响； NM K ∆为对应于递增载荷曲线N Q 的微分初始应力和载荷刚度矩阵；i λ为特征值；M i v 为屈曲模态形状（特征向量）；M 和N 为整个模型的自由度；i 为第i 个屈曲模式。
分叉屈曲载荷为N N i P Q λ+。
一般来说，i λ的最小值很重要。
预加载模式NP ，及扰动载荷模式N Q 可以不同。
例如，N P 可以为由温度变化引起的热载荷，而N Q 可以由施加压力引起。
屈曲模态形状M i v 为规则化向量，其并不代表在分叉载荷下变形的实际大小。
由于其是标准化的，因此最大的位移分量为1.0。
如果所有的位移分量都是零，最大的旋转分量规格化为1.0。
因为他们预测结构可能失效的模式，这些屈曲模式的形状往往是最有用的特征值分析结果。
Abaqus/Standard 仅能提取对称矩阵的特征值和特征向量；因此0NM K 和NM K ∆是对称的。
如果矩阵有明显的非对称部分，特征值问题就不能正确的反映你所期望的结果。
选择特征值提取方法Abaqus/Standard 提供Lanczos 和子空间迭代特征值提取方法。
当一个多自由度系统包含许多特征模式时，Lanczos 方法通常比较快。
当仅有少于20个特征模式需求时，子空间迭代特征值方法将更快。
默认情况，子空间迭代特征值被应用。
子空间迭代和Lanczos 求解可被用于同一分析中不同的分析步；没有要求所有的分析步都采用同一个特征值求解方法。
对于两种特征值求解方法，你可以指定想得到的特征值的数量；Abaqus/Standard 将会为子空间迭代过程选择一些合适的向量或者为Lanczos 方法选择块的大小（尽管你可以不考虑这些选择）。
过高的估计特征值的实部可能产生非常大的文件。
如果特征值的实部被低估，Abaqus/Standard 会发出相应的警告消息。
一般来说，Lanczos 方法块的大小应该与所期望的最大的特征值的量一样大（也就是说，带有同一特征值的最大的模态数量）。
不推荐块的大小大于10。
如果所需的特征值的数量为n ，默认的块的大小为（7，n ）的最小值。
Lanczos 分析步块的数量通常由Abaqus/Standard 决定，但是当你定义特征值屈曲预测步时，你也可以改变它。
一般来说，如果特征值问题慢慢的收敛，提供更多的Lanczos 分析步块可以减小分析的代价。
在另一方面，如果你知道一种类型的问题收敛很快，提供较少的Lanczos 分析步块可以减小内核内存使用的量。
如果所需的特征值数量为n ，默认的块的大小为：Block size n ≤ 10 n > 10140 70 240 60 330 60 ≥ 4 30 30 如果是子空间迭代的方法，你可以指定所关心的特征值的最大值；Abaqus/Standard 将提取特征值直到需要的特征值都被提取完或者最后提取的特征值超过所关心特征值的最大值。
如果是Lanczos 方法，你也可以指定所关心特征值的最小值和/或最大值；Abaqus/Standard 将提取特征值直到在给定范围的所需要的特征值都被提取完或者在给定范围所有的特征值都被提取完。
Input 文件用法：子空间迭代方法： *BUCKLE ，EIGENSOLVER=SUBSPACE (default)Lanczos 方法：*BUCKLE ，EIGENSOLVER=LANCZOSAbaqus/CAE 用法： S tep module: Create Step : Linear perturbation : Buckle : Eigensolver:Lanczos or Subspace屈曲分析应用Lanczos 方法的局限性当刚度矩阵不确定时，Lanczos 特征值提取方法不能被用于屈曲分析，列举如下： ·模型中含有hybrid 单元或connector 单元。
·模型中含有distributing coupling constraints ，由(“Coupling constraints,” Section 28.3.2;“Shell-to-solid coupling,” Section 28.3.3; or “Mesh-independent fasteners,” Section 28.3.4)定义或由distributing coupling elements (DCOUP2D and DCOUP3D)定义。
·模型中含有containing contact pairs 或 contact 单元。
·模型已经被超过分叉载荷预加载。
·模型含有刚体模式。
在以上这些情况，Abaqus/Standard 将会发出错误消息并终止分析。
计算的次序及刚度矩阵的构成在特征值屈曲预测分析步中，Abaqus/Standard 首先做一个静态扰动分析来决定应力的增量σ∆（N Q ）。
如果基础状态不含有几何非线性，用在静态扰动分析的刚度矩阵为切线弹性刚度。
如果基础状态含有几何非线性，初始应力和载荷刚度项（NP ）将被加入。
刚度矩阵NM K ∆是基于σ∆和N Q 的。
在屈曲分析步特征值提取中，刚度矩阵0NM K 对应于基础状态的几何。
不管几何非线性是否被考虑，初始应力和载荷刚度项（预加载载荷NP ）一直都被考虑进来并由基于基础状态的几何计算出来。
当形成刚度矩阵0NM K 和NM K ∆时，所有的接触条件都固定在基础状态。
间隔接近特征值的屈曲模式一些结构具有一些屈曲模态，其特征值间隔非常近，这能导致数值问题。
在这种情况下，提取特征值前，使结构受载刚刚低于分叉载荷经常能帮助施加足够的预加载载荷N P 。
如果N N P Q µ=（这里µ为缩放常数，结构为弹性刚硬），并且问题为线性，结构的刚度为0NM NM K K µ∆+且屈曲载荷为()N i Q µλ+。
这相当于动力学本征频率移动µ的提取过程。
结构的预加载载荷不能超过屈曲载荷，在这种情况下，子空间迭代过程不能收敛或产生不正确的结果，Lanczos 方法也不能应用（见之前的讨论）。
在一些情况下，一系列间隔很近的特征值表明结构是缺陷敏感的。
对于缺陷敏感结构，特征值屈曲分析不能给出准确的屈曲载荷的预测；静态的Riks 过程将被应用（见“Unstable collapse and postbuckling analysis,” Section 6.2.4）。
理解负特征值有时在特征值屈曲分析中会出现负特征值。
在大多数情况下，这些负的特征值表明：如果在相反的方向加载，结构将会屈曲。
一个典型的例子就是在剪切工况下的板；板在相同大小的正剪应力和负剪应力下都会屈曲。
在反向加载时，一些你不期望的出现屈曲的位置，屈曲也可能出现。
例如，由于刚性体的局部屈曲，一个压力容器在外部压力下可能出现负特征值（已在内压下屈服）。
这些“物理的”负屈曲模态在出现时通常很容易被理解，而且在屈曲分析前，可以通过施加预加载载荷来避免。
屈曲模态的负特征值有时不能被简单的理解，尤其是在预加载载荷已经使结构产生明显的几何非线性情况下。
在这种情况下，应该进行几何非线性的载荷—位移分析（“Unstable collapse and postbuckling analysis,” Section 6.2.4）。
屈曲分析中大几何变形因为屈曲分析通常是针对刚性结构的，在建立基础情况的平衡方程时考虑几何改变的影响通常是无必要的。
然而，如果显著的几何改变在基础情况中被考虑，这种效果还是很重要的，这个可以通过在基础情况分析步中考虑几何非线性实现（见“General and linear perturbation procedures,” Section 6.1.2）。
在这种情况下，尤其是对于缺陷敏感结构，进行几何非线性载荷—位移分析（Riks 分析）来确定倒塌载荷是比较可取的。
大变形可以在预加载载荷添加，特征值屈曲理论是基于实时的屈曲载荷N i Q λ所引起的微小的几何改变。
如果实时的载荷过程产生了显著的几何变形，非线性的倒塌（Riks ）分析就必须被应用。
通过特征值分析所预测的总的屈曲载荷是对非线性分析极限载荷的一个非常好的估计。
Riks法在节“Unstable collapse and postbuckling analysis,” Section 6.2.4描述。
初始条件一些量的初始值，如应力、温度、场变量和依靠结果变量等都可以在特征值屈曲分析中指定。