将 f ( n) 看成信号在尺度因子 j = 0 时的近似值 ,
记为 c0 ( n) = f ( n) , 则该信号的快速正交小波变
换[2] 为
6 cj+1 ( n) = h ( k - 2 n) cj ( k) k ∈Z
6 dj+1 ( n) = g ( k - 2 n) cj ( k) k ∈Z
高通组合的共轭正交滤波器{ h ( k) } 和{ g ( k) } , 不
断地将信号分解到不同的频带内 , 滤波器组每作
用一次 ,数据点数就减半 。
2 小波包变换的超声回波信号特征提取
小波包分解后 , 各尺度空间内的平滑信号和 细节信号能提供原始信号的时频局域信息 , 尤其 是能提供不同频段上信号的构成信息 。另一方 面 ,回波信号 f ( t) ∈L2 ( R) 的性质可以用它的小 波包系数来刻画 ,小波包系数越大 ,其携载的信号 能量越多 。小波包变换具有一种“集中”的能力 , 可以使信号的能量在小波包变换域内集中于少数 系数上 ,这些系数的值远大于其他的小波包系数 值 。若把不同分解尺度上的信号能量求解出来 , 并选取小波包系数较大的分解尺度上的能量按尺 度顺序排列 , 则可形成特征向量供后续识别用。 此即基于小波包分解提取信号的多尺度空间能量 特征的基本原理[4] 。如前述 , 小波包库包含了多 种小波包基 ,每一组小波包基都构成了 L2 ( R) 空 间不同的正交基 , 因此 , 对于目标回波信号 f ( t) ∈L2 ( R) ,可用不同的小波包基进行分解 , 因此存 在着最优基选取问题 。在所有的小波包基中 , 最 优基的分解结果最能体现信号的时频特性 , 也反 映了小波包算法对于信号特征的自适应性 。文献 [2 ]提出了选取信息代价函数 (信息熵) 值最小者 作为最优小波包基 ,本文据此选取 Daubechies118
解是一种比小波分解更为精细的分解方法 。
图 1 所示为 3 层尺度分解的小波分解与小波
包分解示意框图 , 其中 S 表示信号 ; L 表示低频 ;
H 表示高频 , L 、H 后的序号数表示分解的层数
(即尺度数) 。
图 1 小波分解与小波包分解示意图
根据多分辨辨析和小波包理论[3] , 定义子空
第 29 卷 第 2 期 2006 年 2 月
合肥工业大学学报 ( 自然科学版)
J OU RNAL O F H EFEI UN IV ERSIT Y O F TEC HNOLO GY
Vol. 29 No . 2 Feb. 2006
基于小波包变换的超声回波信号特征提取
李 功1 , 黄 民2
W f ( a , b)
=〈 f ( t)
,ψa ,b ( t) 〉=
1 ∫R f
a
(
t)ψ(
t
a
b)
dt
(1) 对应的逆变换 (重构公式) 为
∫∫ f ( t)
=1 Cψ R+
R
1 a2
W
f
(
a
,
b)ψ(
t
a
b) d adb (2)
(1) ～ (2) 式中 , a 为伸缩 (尺度) 参数 ; b 为平
移参数 ; Cψ 为小波变换系数 。
实际信号处理时 , 通常对尺度参数 a 进行二
进离散化 (取 a = 2 j , j ∈Z) ,再采用 Mallat 塔式算
法[1] 进行快速正交小波变换 。假设信号 f ( t) ∈
L 2 ( R) 的离散采样序列为 f ( n) , n = 1 ,2 , …, 率分析 的特点 ,适用于对瞬态信号的分析处理 。本文应 用小波包分解手段将实测的缺陷回波信号分解到 不同尺度上 ,通过对各尺度上的能量进行统计分 析 ,选取典型频段上的特征能量 ,构成反映信号本 征的特征向量 ,采用基于距离的类别可分性判据 对其进行可分性测度分析 。结果证明 ,该方法对 超声检测缺陷回波信号的特征提取是较有效的 。
波包 ,它是原信号在各种尺度上所有频段内的全
部分解结果 。令 n = 2 j + k ,则{ u2 j + k ( t) } 即为信号
对于尺度 j 在频段 k 上的分解结果 。
设
gnj ( t)
∈U
n j
,
则
g
n j
(
t)
可表示为
g
n j
(
t)
=
6
d
j l
,
n
u
n
(2j t
-
l)
。其中
,
dj , n l
多分辨分析 ( MRA) 中定义的共轭滤波器 。则由
(6) 式构造的序列{ un ( t) , n ∈Z + } 称为由基函数
确定的正交小波包 。所有的小波包构成了小波包
库 ,这些小波包继承了尺度函数和小波函数的正
交性 ,它们可以以不同的方式组合构成 L2 ( R) 空
间不同的正交基 ,即小波包基 。当 n = 0 时 , u0 ( t) 和 u1 ( t) 分别为尺度函数φ( t) 和小波基函数ψ( t) , { un ( t) , n ∈Z + } 则是正交尺度函数φ( t) 的正交小
248
合肥工业大学学报 (自然科学版)
第 29 卷
6 dj ,2 n l
=
a d j+1 , n k- 2l k
k
(7)
6 d j ,2 n+1 l
=
b d j+1 , n k- 2l k
k
其中 , ak
=
1 2
h0 ( k)
; bk
=
1 2
h1 ( k)
。
小波包分解过程 ,实质上就是通过一组低通 、
间
U
n j
是函数
un
( t)
的闭包空间
,而
U
2 j
n
是
u2 n
(
t)
函数的闭包空间 ,且令函数 un ( t) 满足双尺度方程
6 u2n ( t) = 2 h ( k) un (2 t - k) k ∈Z
(6)
6 u2n+1 ( t) = 2 g ( k) un (2 t - k) k ∈Z
其中 , g ( k) = ( - 1) k h (1 - k) ;{ h( k) } 和{ g ( k) } 为
Abstract :The p ro blem of flaw classificatio n in ult raso nic testing has not been solved so far . In t his pa2 per , a met hod of feat ure ext ractio n of ult raso nic flaw echo signals is int ro duced , which is based o n t he t heory of multilevel wavelet packet t ransform. The characteristic values of measured echo signals are ext racted by t his met hod and evaluated by t he separabilit y criterio n. The average value of separabilit y measure is as high as 91. 7 % , which indicates t hat t his met hod is quite effective in t he feat ure ext rac2 tio n of ult raso nic flaw echoes. Key words :ult raso nic testing ; wavelet packet t ransfo rm ; feat ure ext ractio n ; flaw classificatio n
为函数
g
n j
( t)
在空间
l
U
n j
的投影系数 。则
gnj + 1
( t) 可分解为
g2j n ( t) 与
g2 n + 1 j
( t)
, 从而得到小波包分解算法为
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第 2 期
李 功 ,等 :基于小波包变换的超声回波信号特征提取
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1 小波包变换的基本原理
1. 1 小波变换 小波 变 换 的 基 本 思 想 就 是 用 小 波 基 函 数
ψa ,b ( t) [1 ] 去对信号进行变换 。对于任意信号 f ( t) ∈L2 ( R) ,其连续小波变换定义为
( j = 0 ,1 , …, J - 1)
(3)
其中 , h( k) 和 g ( k) 为由小波函数ψ( t) 确定的正交
共轭滤波器系数 ,且有 g ( k) = ( - 1) 1 - k h ( 1 - k) ;
cj 和 d j 分别为信号在尺度因子 j 上的概貌部分 和细节部分 。
离散信号 c0 ( n) 经过尺度的分解 , 最终可得 到 d1 , d2 , …, dJ , cJ 。若 f ( t) 的分析频率为 f , 则 分解结果对应的各频带为 ( 2 - 1 f ～ f ) , ( 2 - 2 f ～
小波构造的小波包基作为最优基进行分解[5] 。 具体的能量特征提取过程 , 如图 2 所示 。其
2 - 1 f ) , …, (2 - J f ～2 - J + 1 f ) , ( 0～2 - J f ) 。它们分