第七章 参数估计§7.1 参数的点估计 §7.2 估计量的评选标准一、 填空题1．矩估计法是通过 参数 与 总体矩 的联系，解出参数，并用 样本矩 代替 总体矩 而得到参数估计的一种方法；2．极大似然估计法是在 总体分布形式 已知情况下的一种点估计方法；3．设n X X X 2,1是正态总体),(2σμN 的一个样本，则μ的极大似然估计为 =μˆ ∑=n i i X n 11 ；总体方差的矩估计为=σ2ˆ ∑=-n i i X X n 12)(1 ； 4.设()12ˆ,,,nX X X θ 为未知参数θ的估计量，若()ˆE θθ=，则称ˆθ为θ的无偏估计量；5．设n X X X 2,1为总体X 的一个样本，则总体均值)(X E 的无偏估计为 ∑==n i i X n X 11 ；总体方差)(X D 的无偏估计为 ∑=--=n i i X X n S 122)(11 ； 6.设总体X 服从二项分布(),,B N p N 已知，()12,,,n X X X 是来自X 的样本，则p 的极大似然估计量为XN； 解 {}()1ii iN x xx i N P x x C pp -==-，()()111111nni ii i ii i i nnx N x nN x x x x NN i i L C p p C p p ==--==∑⎛⎫∑=-=- ⎪⎝⎭∏∏， ()111ln ln ln ln 1i n n nx N i i i i i L C x p nN x p ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∏，令11ln 110,1n ni i i i d L x nN x dp p p==⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑得到1ni i x X p nN N ===∑。
7.在天平上重复称量一重为a 的物品，假设各次称量结果相互独立且服从正态分布()2,0.2N a ，若以n X 表示n 次称量结果的算术平均值，则为使{}0.10.95n P X a -<≥，n 的最小值应不小于自然数16。
解 ()()220.2,n n E X a D X n n σ===，所以20.2,n X N a n ⎛⎫ ⎪⎝⎭{}0.1210.95n P X a p ⎫-<=<=Φ-≥，解得(()0.975 1.96,Φ≥=Φ所以只需 1.96≥，得到23.92n ≥。
二、 计算下列各题1. 设n X X X 2,1来自指数分布⎩⎨⎧<≥=θθ--0,00,);()(x x e x f x 的一个样本，试求θ的 矩估计。
解 ()()θθe dx xe dx x xf X E x ===⎰⎰+∞--+∞∞-0)(，令()1X E X ν==， 所以θ的矩估计为X ln ˆ=θ。
2. 设总体X 的密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它， ,0063θθθx x xx f ，()12,,,n X X X 是取自X 的简单随机样本，（1）求θ的矩估计量ˆθ；（2）求ˆθ的方差ˆ()D θ。
解 （1）因为()()()236,2x E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞==-=⎰⎰令()E X X =即2X θ=，所以θ的矩估计量为ˆ2X θ=； （2）由于()()()3222363,10x E Xx f x dx x dx θθθθ+∞-∞==-=⎰⎰()()()222223,10420D X E X E X θθθ=-=-=⎡⎤⎣⎦所以()()()221ˆ244205D D X D X n nθθθ===⨯⨯=。
3. 设总体X 服从两点分布（０-１分布），{}p p x P ,1==为未知参数，10<<p 。
n X X X 2,1是来自该总体的简单随机样本，试求未知参数p 的矩估计和极大似然估计。
解 (1)∑===ν==νni i X n X p X E 1111ˆ,)( ，所以p 的矩估计X p =ˆ； ∑∑∏===----+==∑-∑===-====ni i ni i i ni x n x i xxp x n p x L x p p x X P L p p x X P ni ini i1111)1ln()(ln )(ln 1,0,)1()(,)1()(211）（∑∑∑=====---=ni i ni n i i x n X p p p x n x p dp L d 111ˆ,011)(1ln 的极大似然估计所以。
4. 设总体X 的密度函数为10,)1();(<<+α=ααx x x f ，其中1->α是未知参数，n X X X 2,1是来自该总体的一个简单随机样本，试求参数α的矩估计和极大似然估计。
解（1）矩法 21121)1()()(111+-=++=+===⎰⎰++∞∞-ααααναdx x dx x xf X E ，令()1X E X ν==，则XX X X --=--=-=+112211121αα，所以α的矩估计 XX --=α112ˆ； （2）极大似然法 ()()⎪⎩⎪⎨⎧=<<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∏=其它，,0,,2,1,1011n i x x L i n i i n ααα ()()011,20i x i n L α<<=> 当时，，故()∑=α++α=ni i x n L 1ln 1ln ln ，并且令1ln ln 01ni i L n x αα=∂=+=∂+∑，解得∑=--=ni ixn1ln 1ˆαα的极大似然估计为。
5. 设12,,,n X X X 是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，试求λ的矩估计量及极大似然估计量。
解 （1）总体X 的分布律为{},0,1,!x e P X x x x λλ-=== ，因为()()()1011!1!1!x x x x x x e e eE X x x x xλλλλλλλλ----∞∞∞====⋅===--∑∑∑，所以令()1X E X υ==，得到λ的矩估计量为ˆX λ=； （2）样本12,,,n X X X 的似然函数为()111!!niii x x n nni i ii ee L x x λλλλλ=--==∑==∏∏，则()11ln ln ln(!)nni i i i L x n x λλλ===--∑∑，令()1ln 0nii x L n λλλ=∂=-=∂∑，解得λ的极大似然估计量为11ˆn i i X X n λ===∑。
6. 设总体()2,~σμN X 其中μ未知，n X X X 2,1为其子样，试证下述统计量：3211412141ˆX X X ++=μ, 3212313131ˆX X X ++=μ,3213515351ˆX X X ++=μ 3146561ˆX X +=μ都是μ的无偏估计，并指明哪个估计“最好”。
证 )(41)(21)(41)ˆ(3211X E X E X E E ++=μμ=μ+μ+μ=412141 同理可得μμμμ===)ˆ()ˆ()ˆ(432E E E , 故均为μ的无偏估计。
又)(161)(41)(161)ˆ(3211X D X D X D D ++=μ222228316616141161σ=σ=σ+σ+σ=同理可得 2231)ˆ(σμ=D , 232511)ˆ(σμ=D , 241813)ˆ(σμ=D , 故2ˆμ最好。
7.(1)设12,,,n X X X 是来自总体X 的样本，10,1,2,,,1ni ii i n αα=>==∑ ，试证1ni ii Xα=∑是()E X μ=的无偏估计量；（2）试证在μ的一切形为110,1nni i i i i i X ααα==⎛⎫>= ⎪⎝⎭∑∑的估计中，X 为最有效的。
证 （1）因为()111()n n niiiiii i i E X E X ααμαμ======∑∑∑，所以1ni i i X α=∑是μ的无偏估计；(2)()222111n n ni i i i i i i i D X D X αασα===⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑，下面求函数()2121,,,nn i i f αααα==∑ 在条件10,1,2,,,1ni i i i n αα=>==∑ 下的极小值点。
为此令()21211,,,;1nn n i i i i F αααλαλα==⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑∑ ，令120,1,2,,10,i i n i i Fi n F αλααλ=∂⎧=+==⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎩∑ 解得1,122n i i i n λλαα==-=-=∑，得2n λ=-，从而得1,1,2,,i i n nα== ，从而证明了X 最有效。
8. 设n X X X 2,1为正态总体()2,αμN 的一个样本，试适当选择C ，使()2111∑-=+-n i i i X X C 为2σ的无偏估计。
解 ()()()()()[]∑∑-=++-=+++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-11212111212122n i i i i i n i i i i i X E X E X E X E C X X X X C E＝()()()[]∑-=+-112222n i X E EX X E C＝()()[]()()()X D X D n C EX X E C n i =-=-∑-=1221122，()121-=n C 所以。
9.设21ˆ,ˆθθ是参数θ的两个相互独立的无偏估计，且()()21ˆ2ˆθ=θD D ，找出常数21,k k 使2211ˆˆθ+θk k 也是θ的无偏估计，并且使它在所有的这种形状的估计量中方差最小。
解 要使()()θθθθθθ=+=+=+2122112211)ˆ()ˆ(k k E k E k k k E ,只需 121=+k k 即可；()()()222212*********ˆ2)ˆ()ˆ(ˆˆθθθθθD k k D k D k k k D +=+=+，即求()22212m in k k +最小值，且121=+k k 。
设()()2121112k k k f -+= ，令()01='k f , 解得32,3121==k k 。
10.设分别来自总体()21,N μσ和()22,N μσ中抽取容量为12,n n 的两独立样本，其样本方差分别为2212,S S ，试证，对于任意常数(),1a b a b +=，2212Z aS bS =+都是2σ的无偏估计，并确定常数,a b 使()D Z 达到最小。
证 因为对于正态分布来说，样本方差为其总体方差的无偏估计，即()()222212,E S E S σσ==，而()()()()()222222221212E Z E aS bS aE S bE S a b a b σσσσ=+=+=+=+=，所以2212Z aS bS =+是2σ的无偏估计。