实验二 MATLAB 矩阵分析与处理
一、实验目的
1.掌握生成特殊矩阵的方法；
2.掌握矩阵分析的方法；
3.用矩阵求逆法解线性方程组。
二、实验内容
（1）设有分块矩阵33
322322E R A O S ⨯⨯⨯⨯⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，其中E 、R 、O 、S 分别为单位矩阵、随即矩阵、零矩阵和对角阵，试通过数值计算验证22E R R S A O S +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。
解：E=eye(3);
R=rand(3,2);
O=zeros(2,3);
S=diag([2,3]);
A=[E,R;O,S];
A^2
B=[E,(R+R*S);O,S^2]
ans =
Columns 1 through 4
1.0000 0 0
2.4442
0 1.0000 0 2.7174
0 0 1.0000 0.3810
0 0 0 4.0000
0 0 0 0
Column 5
3.6535
2.5294
0.3902
9.0000
B =
Columns 1 through 4
1.0000 0 0
2.4442
0 1.0000 0 2.7174
0 0 1.0000 0.3810
0 0 0 4.0000
0 0 0 0
Column 5
3.6535
2.5294
0.3902
9.0000
（2）.产生5阶希尔伯特矩阵H和5阶帕斯卡矩阵P，且求其行列式的值Hh和Hp以及它们的条件数Th和Tp，判断哪个矩阵性能更好，为什么？
解：H=hilb(5)
P=pascal(5)
Hh=det(H)
Hp=det(P)
Th=cond(H)
Tp=cond(P)
H =
1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000
0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667
0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429
0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250
0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111
P =
1 1 1 1 1
1 2 3 4 5
1 3 6 10 15
1 4 10 20 35
1 5 15 35 70
Hh =
3.7493e-012
Hp =
1
Th =
4.7661e+005
Tp =
8.5175e+003
解析：
（3）.建立一个55
⨯矩阵，求它的行列式、迹、秩和各种范数。
解：A=fix(10*rand(5))
H=det(A)
Trace=trace(A)
Rank=rank(A)
Norm=norm(A)
A =
2 9 4 0 7
5 9 9 8 3
9 4 7 9 6
9 8 9 6 1
1 1 6 7 7
H =
-12583
Trace =
31
Rank =
5
Norm =
30.1601
4.已知
29618
20512
885
A
-⎡⎤
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
-
⎣⎦
，求A得特征值及对应的特征向量，并分析其数学意义。
解：A=[-29,6,18;20,5,12;-8,8,5] [V,D]=eig(A)
A =
-29 6 18
20 5 12
-8 8 5
V =
0.7130 0.2803 0.2733
-0.6084 -0.7867 0.8725
0.3487 0.5501 0.4050
D =
-25.3169 0 0
0 -10.5182 0
0 0 16.8351 意义：
5.已知线性方程组：
1
2
3 1213140.95 114150.67 1415160.52
x
x
x
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
=
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⑴求方程组的解；
解：A=[1/2,1/3,1/4;1/3,1/4,1/5;1/4,1/5,1/6]; b=[0.95,0.67,0.52]';
x=inv(A)*b
%(2):
B=[0.95,0.67,0.53]';
x=inv(A)*B
%(3):
cond(A)
x =
1.2000
0.6000
0.6000
x =
3.0000
-6.6000
6.6000
ans =
1.3533e+003
⑵将方程组右边向量元素3b 改为0.53，再求解，并比较3b 的变化和解得相对变化；
解：A=hilb(4)
A(:,1)=[]
A(4,:)=[]
B=[0.95,0.67,0.52]';
X=inv(A)*B
B1=[0.95,0.67,0.53]';
X1=inv(A)*B1
N=cond(B)
N1=cond(B1)
Na=cond(A) %矩阵A 为病态矩阵
A =
1.0000 0.5000 0.3333 0.2500
0.5000 0.3333 0.2500 0.2000
0.3333 0.2500 0.2000 0.1667
0.2500 0.2000 0.1667 0.1429
A =
0.5000 0.3333 0.2500
0.3333 0.2500 0.2000
0.2500 0.2000 0.1667
0.2000 0.1667 0.1429
A =
0.5000 0.3333 0.2500
0.3333 0.2500 0.2000
0.2500 0.2000 0.1667
X =
1.2000
0.6000
0.6000
X1 =
3.0000
-6.6000
6.6000
N =
1
N1 =
1
Na =
1.3533e+003
⑶计算系数矩阵A的条件数并分析结论。
解：
（6.）建立矩阵A，试比较sqrtm(A)和sqrt(A)，分析它们的区别。
解：解：A=[1,4,9;16,25,36;49,64,81]
B=sqrtm(A)
C=sqrt(A) %sqrtm函数是以矩阵为单位进行计算，sqrt函数是以矩阵中的元素进行计算
A =
1 4 9
16 25 36
49 64 81
B =
0.6344 + 1.3620i 0.3688 + 0.7235i 0.7983 - 0.4388i
1.4489 + 1.1717i
2.7697 + 0.6224i
3.2141 - 0.3775i
4.3578 - 1.6237i
5.7110 - 0.8625i 7.7767 + 0.5231i
C =
1 2 3
4 5 6
7 8 9 区别：。