交通大学2000年保送生数学试题一、选择题(本题共15分，每小题3分．在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填在括号内)1．若今天是星期二，则31998天之后是 ( ) A ．星期四 B ．星期三 C ．星期二 D ．星期一2．用13个字母A ，A ，A ，C ，E ，H ，I ，I ，M ，M ，N ，T ，T 作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MA THEMATICIAN”一词的概率是 ( )A ．4813!B ．21613!C ．172813!D ．813!3．方程cos 2x -sin 2x +sin x ＝m +1有实数解，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．18m ≤B ．m >-3C ．m >-1D ．138m -≤≤4．若一项数为偶数2m 的等比数列的中间两项正好是方程x 2+px +q ＝0的两个根，则此数列各项的积是 ( ) A ．p m B ．p 2m C ．q m D ．q 2m 5．设f ’(x 0)＝2，则000()()limh f x h f x h h→+--( ) A ．-2 B ．2C ．-4D ．4二、填空题（本题共24分，每小题3分）1．设f (x )1，则1(2)f x dx =⎰__________．2．设(0,)2x π∈，则函数(222211sin )(cos )sin cos x x x x++的最小值是__________． 3．方程316281536xxx⋅+⋅=⋅的解x ＝__________．4．向量2a i j =+ 在向量34b i j =+上的投影()ba = __________．5．函数2y x =+的单调增加区间是__________．6．两个等差数列200，203，206，…和50，54，58…都有100项，它们共同的项的个数是__________．7．方程7x 2-(k +13)x +k 2-k -2＝0的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k 的取值范围是__________．8．将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是________． 三、证明与计算（本题61分）1．(6分)已知正数列a 1，a 2，…，a n ，且对大于1的n 有1232n a a a n +++=，1212n n a a a +=． 试证：a 1，a 2，…，a n 中至少有一个小于1．2．(10分)设3次多项式f (x )满足：f (x +2)＝-f (-x )，f (0)＝1，f (3)＝4，试求f (x )．3．(8分)求极限112lim(0)p p pp n n p n +→∞+++> ．4．(10分)设2,0(),0x bx c x f x lx m x ⎧++>=⎨+≤⎩在x ＝0处可导，且原点到f (x )中直线的距离为13，原点到f (x )中曲线部分的最短距离为3，试求b ，c ，l ，m 的值．(b ,c >0)5．(8分)证明不等式：3412≤≤，[0,]2x π∈．6．(8分)两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是12．若射手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率．7．(11分)如图所示，设曲线1yx=上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB1A1，△A1B2A2，…，直角顶点在曲线1yx=上．试求A n的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在．复旦大学2000年保送生招生测试数学试题（理科）一、填空题（每小题10分，共60分）1．将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，……，第n 组含n 个数，即1；2，3；4，5，6；……．令a n 为第n 组数之和，则a n ＝________________． 2．222sin sin ()sin ()33ππααα+++-＝______________．3．222lim[(2)log (2)2(1)log (1)log ]n n n n n n n →∞++-+++＝_________________．4．已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，和底面成60度角，则两对角面面积之比为__________________．5．正实数x ,y 满足关系式x 2-xy +4＝0，又若x ≤1，则y 的最小值为_____________．6．一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台1000米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了______________米．二、解答题（每小题15分，共90分）1．数列{a n }适合递推式a n +1＝3a n +4，又a 1＝1，求数列前n 项和S n ．2．求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点．你还知道其它圆锥曲线的光学性质吗？请叙述但不必证明．3．正六棱锥的高等于h ，相邻侧面的两面角等于12arcsin 2，求该棱锥的体积．(1cos 124π=)4．设z 1,z 2,z 3,z 4是复平面上单位圆上的四点，若z 1+z 2+z 3+z 4=0． 求证：这四个点组成一个矩形．5．设(1n n x y =+x n ,y n 为整数，求n →∞时，nnx y 的极限．6．设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过1．问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点．请证明你的结论．2000年交大联读班试题1. 直线y ax b =+关于y x =-的对称直线为_______________。

2. 已知,,a b c 是ABC 的三边，1a ≠，b c <，且满足log log 2log log b c c b b c c b a a a a +-+-+=，则ABC 是_______________的三角形。

3. 已知()887871031x a x a x a x a +=++++ ，则86420a a a a a ++++=_______________。

4. 已知()f x 满足：()()()111f x f x f x -+=+，则()f x 的最小正周期是_______________。

5. 已知()f x 是偶函数， ()2f x -是奇函数，且()01998f =，则()2000f =_______________。

6. ,,a b c 是ABC 的三边，且()()()::4:5:6b c a c a b +++=，则sin :sin :sin A B C =_______________。

7. n 是十进制的数，()f n 是n 的各个数字之和，则使()20f n =成立的最小的n 是_______________。

8.7sin sin 12127cos cos 1212ππππ+=+_______________。

9. 函数()f x =()x R ∈的反函数是_______________。

10. 已知数列n nna k =（k 是不等于1的常数），则123n a a a a ++++= _______________。

11. 从自然数1至100中任取2个相乘，其结果是3的倍数的情况有种_______________。

（取出的数不分先后）12. 己知()f x 在0x 处可导，则()()22003limh f x h f x h h→∞+--=_______________。

13. 已知,x y 为整数，n 为非负整数，x y n +≤，则整点(),x y 的个数为_______________。

14. 抛物线()20y x x =>上，点A 坐标为1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，抛物线在P 点的切线与y 轴及直线PA 夹角相等，求点P 的坐标。

15. 在{}n a 中，14a =，n a =11333n n a a --<-②求lim n n a →∞。

16. 已知22u y x =-，2v xy =，①若点(),x y 在单位圆上以()0,1为起点按顺时针方向转一圈，求点(),u v 的轨迹； ②若点(),x y 在直线y ax b =+上运动，而点(),u v 在过点()1,1的直线上运动，求a ，b 的值。

17. 若,x y 满足222120x xy y -++=，求下列函数的最小值：①x y +；②xy ；③33x y +。

18. 若方程3270x x m -+=有3个不同实根，求实数m 的取值范围。

19. 己知函数()f x 满足()()()()f x y f x f y xy x y +=+++，又()'01f =，求函数()f x 的解析式。

20. 口袋中有4个白球，2个黄球，一次摸2个球，摸到的白球均退回口袋，保留黄球，到第n 次两个黄球都被摸出，即第1n +次时所摸出的只能是白球，则令这种情况的发生概率是n P ，求23,,n P P P 。

2001复旦基地班数学试题1. 设函数xy x a=+的反函数是它自身，则常数a =_______________。

2. 不等式()2222log log x x -≥⎡⎤⎣⎦的解集是_______________。

3. 直线2780x y -+=与2760x y --=间的距离是_______________。

4. 如果()3nx +的展开式的系数和是()1my +的展开式的系数和的512倍，那么自然数n 与m 的关系为_______________。

5. 椭圆342cos ρθ=-的焦距是_______________。

6. 己知4350x y --=，那么()()2213x y -+-的最小值为_______________。

7. 与正实轴夹角为()arcsin sin3的直线的斜率记为k ，则arctan k =_______________。

（结果用数值表示）8. 从n 个人中选出m 名正式代表与若干名非正式代表，其中非正式代表至少1名且名额不限，则共有_______________种选法()m n <。

9. 正方体1111ABCD A BC D -中，1BC 与截面11BB D D 所成的角为_______________。

10. 1sec50cot10+=_______________。

（结果用数值表示） 11. 函数()3cos cos 2g x x x πππ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ）A ．2πB ．πC ．2D ．112. 设函数()f x =()1f x -，则对于[]0,1内的所有x 值，一定成立的是（ ）A ．()()1f x f x -≥B ．()()1f x f x -≤C ．()()1f x f x -=D ．()()1f x f x -≠13. 138除以9所得的余数是（ ）A ．6B ．1-C ．8D ．114. 抛物线()241y x =--的准线方程为（ ）A ．1x =B ．2x =C ．3x =D ．4x =15. 由参数方程11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所表示的曲线是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆16. 己知抛物线252y x x =-+与2y ax bx c =++关于点()3,2对称，则a b c ++的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．417. 作坐标平移，使原坐标下的点(),0a ，在新坐标下为()0,b ，则()y f x =在新坐标下的方程为（ ）A ．()''y f x a b =++B ．()''y f x a b =+-C ．()''y f x a b =++D ．()''y f x a b =++18. 设有四个命题：①两条直线无公共点，是这两条直线为异面直线的充分而不必要条件；②一条直线垂直于一个平面内无数条直线是这条直线垂直于这个平面的充要条件；③空间一个角的两边分别垂直于另一个角的两边是这两个角相等或互补的充要条件。