函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像(一)复习指导单调性：设函数y ＝f (x )定义域为A ，区间M ⊆A ，任取区间M 中的两个值x 1，x 2，改变量Δx ＝x 2－x 1＞0，则当Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＞0时，就称f (x )在区间M 上是增函数，当Δy =f (x 2)－f (x 1)＜0时，就称f (x )在区间M 上是减函数．如果y ＝f (x )在某个区间M 上是增(减)函数，则说y =f (x )在这一区间上具有单调性，这一区间M 叫做y =f (x )的单调区间．函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间任取x 1，x 2，当x 1＜x 2时判断相应的函数值f (x 1)与f (x 2)的大小．利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是由图象观察得到的．对于y =f [φ(x )]型双重复合形式的函数的增减性，可通过换元，令u =φ(x )，然后分别根据u =φ(x )，y =f (u )在相应区间上的增减性进行判断，一般有“同则增，异则减”这一规律．此外，利用导数研究函数的增减性，更是一种非常重要的方法，这一方法将在后面的复习中有专门的讨论，这里不再赘述．奇偶性：(1)设函数f (x )的定义域为D ，如果对D 内任意一个x ，都有－x ∈D ，且f (－x )=－f (x )，则这个函数叫做奇函数；设函数f (x )的定义域为D ，如果对D 内任意一个x ，都有－x ∈D ，且f (－x )=f (x )，则这个函数叫做偶函数．函数的奇偶性有如下重要性质：f (x )奇函数⇔f (x )的图象关于原点对称． f (x )为偶函数⇔f (x )的图象关于y 轴对称．此外，由奇函数定义可知：若奇函数f (x )在原点处有定义，则一定有f (0)=0，此时函数f (x )的图象一定通过原点．周期性：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x +T )=f (x )成立，则函数f (x )叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．关于函数的周期性，下面结论是成立的．(1)若T 为函数f (x )的一个周期，则kT 也是f (x )的周期(k 为非零整数)．(2)若T 为y =f (x )的最小正周期，则||ωT 为y =Af (ωx +φ)+b 的最小正周期，其中ω≠0．对称性：若函数y =f (x )满足f (a －x )=f (b +x )则y =f (x )的图象关于直线2ba x +=对称，若函数y =f (x )满足f (a －x )=－f (b +x )则y =f (x )的图象关于点(2ba +，0)对称．函数的图象：函数的图象是函数的一种重要表现形式，利用函数的图象可以帮助我们更好的理解函数的性质，我们首先要熟记一些基本初等函数的图象，掌握基本的作图方法，如描点作图，三角函数的五点作图法等，掌握通过一些变换作函数图象的方法．同时要特别注意体会数形结合的思想方法在解题中的灵活应用．(1)利用平移变换作图：y =f (x )−−−→−左右平移y =f (x ＋a )y =f (x )−−−→−上下平移y =f (x )＋b(2)利用和y =f (x )对称关系作图：y =f (－x )与y =f (x )的图象关于y 轴对称；y =－f (x )与y =f (x )的图象关于x 轴对称y =－f (－x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称；y =f -1(x )与y =f (x )的图象关于直线y =x 对称 (3)利用y =f (x )图象自身的某种对称性作图y =|f (x )|的图象可通过将y =f (x )的图象在x 轴下方的部分关于x 轴旋转180°，其余部分不变的方法作出． y =f (|x|)的图象：可先做出y =f (x )，当x ≥0时的图象，再利用偶函数的图象关于y 轴对称的性质，作出y =f (x )(x ＜0)的图象．此外利用伸缩变换作图问题，待三角的复习中再进行研究．还要记住一些结论：若函数y =f (x )满足f (a －x )=f (b +x )则y =f (x )的图象关于直线2ba x += 对称，若函数y =f (x )满足f (a －x )=－f (b +x )则y =f (x )的图象关于点(2ba +，0)对称．(二)解题方法指导例1．设a ≠0，试确定函数21)(x axx f -=在(－1，1)上的单调性．例2．讨论xx x f 2)(+=的增减性．例3．f (x )在(－∞，2)上是增函数，且对任意实数x 均有f (4－x )=f (x )成立，判断f (x )在(2，+∞)上的增减性．例4*．已知函数f (x )的定义域为R ，对任意实数m ，n ，都有21)()()(++=+n f m f n m f 且当21>x 时，f (x )＞0．又.0)21(=f(Ⅰ)求证;1)21(,21)0(-=--=f f (Ⅱ)判断函数f (x )的单调性并进行证明例5．在R 上求一个函数，使其既是奇函数，又是偶函数例6．判断下列函数的奇偶性⋅++=)1lg()()1(2x x x f(2) 11)()(+-⋅=x x a a x x f ϕ(其中φ(x )为奇函数，a ＞0且a ≠1)．例7．设函数])1,1[(1)(2-∈+++=x bx x a x x f 是奇函数，判断它的增减性．例8．设f (x )是定义域为R 且以2为一个周期的周期函数，也是偶函数，已知当x ∈[2，3]时f (x )=(x －1)2+1，求当x ∈[1，2]时f (x )的解析式．例9．作出112++=x x y 的图象，并指出函数的对称中心，渐近线，及函数的单调性．例10．作出函数的图象 (1)1)1(32+-=x y(2)y =|lg|x||例11．(1)作出方程｜x ｜+｜y ｜=1所表示的曲线．(2)作出方程｜x －1｜+｜y +1｜=1所表示的曲线．例12．已知函数f (x )和g(x )的图象关于原点对称，且f (x )=x 2+2x ． (1)求函数g(x )的解析式； (2)解不等式g(x )≥f (x )－｜x －1｜．例 题 解 析例1解：任取x 1，x 2∈(－1，1)，且Δx =x 2－x 1＞0，则⋅--+-=---=-=∆)1)(1()1)((11)()(2221211222122212x x x x x x a x ax x ax x f x f y 由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以Δx =x 2－x 1＞0，1＋x 1x 2＞0，1－21x ＞0，1－22x ＞0．因此当a ＞0时，Δy =f (x 2)－f (x 1)＞0，当a ＜0时，Δy =f (x 2)－f (x 1)＜0．所以当a ＞0时f (x )在(－1，1)上是增函数，当a ＜0时，f (x )在(－1，1)上是减函数．例2分析：可先在(0，＋∞)上研究f (x )的增减性，然后根据f (x )的奇偶性判断其在(－∞，0)上的增减性，而当x ＞0时，有,222)(≥+=xx x f 当且仅当x x =2即2=x 时“=”成立，即当2=x 时，f (x )取得最小值,2由此可知x =2是函数单调区间的一个分界点．解：任取x 1，x 2∈(0，2]，且Δx =x 2－x 1＞0 则)21)(()2()2()()(2112112212x x x x x x x x x f x f y --=+-+=-=∆因为,2021≤<<x x Δx =x 2－x 1＞0，且02121<-x x ，因此Δy =f (x 2)－f (x 1)＜0，故f (x )在]2,0(上是减函数．同理可证f (x )在),2[+∞是增函数．又由),(2)(x f xx x f -=-+-=-可知f (x )是奇函数，其图像关于原点对称，所以可知f (x )在]2,(--∞上是增函数，在)0,2[-上是减函数．综上所述，xx x f 2)(+=在]2,(--∞和),2[+∞上是增函数，在)0,2[-，]2,0(上是减函数．例3解：任取x 1，x 2∈(2，＋∞)，且x 1＜x 2，则由2＜x 1＜x 2得2＞4－x 1＞4－x 2 因为f (x )在(－∞，2)上是增函数，所以有f (4－x 1)＞f (4－x 2)而由已知又有f (4－x 1)=f (x 1)，f (4－x 2)=f (x 2)，所以f (x 1)＞f (x 2)，故f (x )在(2，＋∞)上是减函数．小结：注意体会解题中的划归思想．此题若是一个小题，由f (4－x )=f (x )可知f (x )的图像关于x =2对称，立即就可以判断出f (x )在(2，＋∞)上是减函数．例4分析：判断这类抽象函数的单调性，关键是根据已知去创造条件，利用单调性的定义进行和判断，可以采用分析法寻求解题思路．解：(Ⅰ)由f (m ＋n )=f (m )＋f (n )21+得f (0)=f (0＋0)=2f (0)21+有f (0)=－21 又由21)21()21()2121()0(+-+=-=f f f f 及0)21(=f 得1)21(-=-f(Ⅱ)任取x 1，x 2∈R 且Δx ＝x 2－x 1＞0则212112>+-x x 根据已知可得0)21(12>+-x x f 则有21)()()()(1121122++-=+-=x f x x f x x x f x f21)(21)21()21(21)()2121(112112+++-++-=++-+-=x f f x x f x f x x f).(1)(11)()21(0111x f x f x f f =++-=++-+>函数f (x )在R 上为增函数．例5解：设所求的R 上的函数为f (x )，则由函数奇偶性定义得f (－x )=－f (x )①，f (－x )=f (x )②，联立①②，消去f (－x )，得f (x )=0．显然函数f (x )=0既是奇函数又是偶函数，所以f (x )=0就是所求的函数．例6解：(1)因为对任意x ∈R ，都有0||122≥+=+>++x x x x x x ，所以函数定义域为R任取x ∈R ，则－x ∈R且有)()1lg()1lg()1lg()(2122x f x x x x x x x f -=++-=++=++-=-- 所以)1lg()(2++=x x x f 是奇函数 (2)函数的定义域为R ． 任取x ∈R ，则－x ∈R ，且有.11)(11)(11)()(+-=+--=+--=-⋅⋅⋅--x x x x xx a a x a a x a a x x f ϕϕϕ 所以11)()(+-=⋅x x a a x x f ϕ是偶函数．例7解：显然x ∈[－1，1]，－x ∈[－1，1]，因为f (x )为奇函数，所以对区间[－1，1]内任意实数x 均有f (－x )=－f (x )成立，即1122+++-=+-+-bx x a x bx x a x ，也就是1122+++=+--bx x ax bx x a x 这是关于x 的恒等式，比较两端分子分母对应项的系数，可得a =b =0．所以⋅+=1)(2x xx f 任取x 1，x 2∈[－1，1]，且Δx =x 2－x 1＞0 则⋅++--=+-+=-=∆)1)(1()1)((11)()(2221211221122212x x x x x x x x x x x f x f y因为－1≤x 1＜x 2≤1，所以Δx =x 2－x 1＞0，1－x 1x 2＞0，因此Δy =f (x 2)－f (x 1)＞0，所以当x ∈[－1，1]时1)(2+=x xx f 为增函数． 注：此题也可以通过f (0)=0，f (－1)=－f (－1)求得a =b =0例8分析：此题的解答要抓住两个关键点，一个是f (x )为偶函数，再一个是f (x )为周期函数，通过画出草图，就会发现可以先求出当x ∈[－3，－2]时函数的解析式，在利用周期性求出当x ∈[1，2]时f (x )的解析式，要注意体会划归的思想方法．解：当x ∈[－3，－2]时－x ∈[2，3]所以f (－x )=(－x －1)2＋1=(x ＋1)2＋1，因为f (x )是偶函数，因此当x ∈[－3，－2]时，f (x )=(x ＋1)2＋1当x ∈[1，2]时，x －4∈[－3，－2]，有f (x －4)=(x －4＋1)2＋1=(x －3)2＋1，因为2为f (x )的周期，可知－4也为f (x )一个周期，有f (x －4)=f (x )故x ∈[1，2]时f (x )=(x －3)2＋1．例9解：因为112112+-=++=x x x y 所以将x y 1-=的图象向左平移一个单位，再向上平移两个单位，即可得到112++=x x y 的图象，如图由图象可以得到：对称中心为(－1，2) 渐近线分别为x =－1，y =2函数在(－∞，－1)和(－1，＋∞)上都是增函数．例10解：(1)将函数32x y =的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，即可的得到1)1(32+-=x y ，如图．(2)y =｜lg ｜x ｜｜为偶函数，当x ＞0时先作出y =lg x 的图象，在根据奇偶性作出y =lg ｜x ｜的图象，最后将y =lg ｜x ｜在横轴下面的图象关于x 轴旋转180°，其余部分不变．即可得到y =｜lg ｜x ｜｜的图象，如图．例11分析，曲线｜x ｜＋｜y ｜=1是关于x 轴，y 轴和原点的对称图形，利用对称性可以很快的作出曲线，至于曲线｜x －1｜＋｜y ＋1｜=1，只需通过将曲线｜x ｜＋｜y ｜＝1适当平移即可得到．解：(1)先作出线段x ＋y =1(x ≥1，y ≥1)，再作出该线段分别关于x 轴，y 轴和原点分别对称的线段，就得到方程｜x ｜＋｜y ｜=1所表示的曲线，如图．(2)将(1)中方程｜x ｜＋｜y ｜=1所表示的曲线右移一个单位，下移一个单位就得到方程｜x －1｜＋｜y ＋1｜=1所表示的曲线，如图．例12解：(1)设f (x )上任意一点P (x 0，y 0)关于原点的对称点为P '(x ，y )则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+020200y y xx 即⎩⎨⎧-=-=y y x x 00 因为点P (x 0，y 0)在f (x )=x 2＋2x 的图像上，所以+=200x y 2x 0，即－y =(－x )2＋2(－x )故g (x )=－x 2＋2x ．(2)由g (x )≥f (x )－｜x －1｜得2x 2≤｜x －1｜当x ≥1时，不等式化为2x 2－x ＋1≤0，此式无实数解． 当x ＜1时，不等式化为2x 2＋x －1≤0解得211≤≤-x ，因此g (x )≥f (x )－｜x －1｜解集为].21,1[-。