函数对称性、周期性和奇偶性规律总结
注：换种说法：)(x f y =与()()y g x f x ==-若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。

2、()y f x =与()y f x =-关于Y 轴对称。

证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以()y f x =-经过点11(,)x y - ∵11(,)x y 与11(,)x y -关于Y 轴对称，∴()y f x =与()y f x =-关于Y 轴对称。

注：因为11(,)x y -代入()y f x =-得111(())()y f x f x =--=所以()y f x =-经过点11(,)x y -
换种说法：)(x f y =与()()y g x f x ==-若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。

()(())()g x f x f x -=--=
3、()y f x =与(2)y f a x =-关于直线x a = 对称。

证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以(2)y f a x =-经过点11(2,)a x y -
∵11(,)x y 与11(2,)a x y -关于x a =轴对称，∴()y f x =与(2)y f a x =-关 于直线x a = 对称。

注：换种说法：)(x f y =与()(2)y g x f a x ==-若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。

4、)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。

证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以)(2x f a y -=经过点11(,2)x a y -
∵11(,)x y 与11(,2)x a y -关于y a =轴对称，∴)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称.
注：换种说法：)(x f y =与()2()y g x a f x ==-若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。

5、)2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称。

证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以2(2)y b f a x =--经过点11(2,2)a x b y --
∵11(,)x y 与11(2,2)a x b y --关于点(a,b)对称，∴)2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称.
注：换种说法：)(x f y =与()2(2)y g x b f a x ==--若满足b x a g x f 2)2()(=-+，即它们关于点(a,b)对称。

(2)2(2(2))2()g a x b f a a x b f x -=---=-
6、)(x a f y -=与()y f x b =-关于直线2
b a x +=对称。

证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以()y f a x =-经过点11(,)a x y -,()y f b x =-经过点11(,)b x y +,∵11(,)a x y -与11(,)b x y +关于直线2
b a x +=对称， ∴)(x a f y -=与()y f x b =-关于直线2b a x +=
对称。

三、总规律：定义在Ｒ上的函数()x f y =，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在。

一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)
(一)、函数的周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。

如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。

1、 周期性：
（1）函数)(x f y =满足如下关系式，则T x f 2)(的周期为
A 、)()(x f T x f -=+
B 、)(1)()(1)(x f T x f x f T x f -=+=
+或 C 、)(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或)
(1)(1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立） D 、其他情形
（2）函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+且)()(x b f x b f -=+，则可推出 )](2[)]2([)]2([)2()(a b x f b x a b f b x a b f x a f x f -+=---=--+=-=即可以
得到)(x f y =的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x 轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”
（3）如果奇函数满足)()(x f T x f -=+则可以推出其周期是2T ，且可以推出对
称 轴为kT T x 22
+=)(z k ∈，根据)2()(T x f x f +=可以找出其对称中心为 )0(kT ，)(z k ∈（以上0≠T ）
如果偶函数满足)()(x f T x f -=+则亦可以推出周期是2T ，且可以推出对称中心为)0,22
(kT T +)(z k ∈，根据)2()(T x f x f +=可以推出对称轴为kT T x 2+=)(z k ∈ （以上0≠T ）
（4）如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是 以4T 为周期的周期性函数。

如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+ （0≠T ），则函数)(x f y =是以2T 为周期的周期性函数。

定理1：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f -=+)(（其 中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.
定理2：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f --=+)(，且()x b f x b f --=+)( （其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.
定理3：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其 中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -4为周期.
定理4：若函数f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 都对称，则f(x)是周期函数，2（b-a ）是它的一个周期（未必是最小正周期）。

定理5：若函数f(x)的图像关于点（a,c ）和(b,c)都成中心对称，则f(x)是周期函数，2（b-a ）是它的一个周期（未必是最小正周期）。

定理6：若函数f(x)关于点（a,c ）和x=b 都对称，则f(x)是周期，4（b-a ）
是它的一个周期（未必是最小正周期）。

定理7：若函数f(x)满足f(x-a)=f(x+a)(a>0),则f(x)是周期函数，2a 是它的一个周期。

定理8：若函数f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0)(或f(x+a)=)
(1x f 或f(x+a)=－)(1x f )则f(x)周期函数，2a 是它的一个周期。

定理9：若函数)0,1)(()
(1)(1)(>≠-+=+a x f x f x f a x f ,则f(x)是周期函数，4a 是它的一个周期。

若f(x)满足)0,1)(()
(1)(1)(>≠+-=
+a x f x f x f a x f ,则f(x)是周期函数，2a 是它的一个周期。