Klett 反演算法
大气激光雷达接收到的距离R 处大气后向散射回波信号功率P (R )可以由激光雷达方程确定：
()()()2102
r C P A R T R P R R β=………………………………（A.1）
式中：
C 1——激光雷达校正常数，与几何因子、透过率、系统效率、距离分辨率等参数有关； P 0——发射的激光脉冲的功率； A r ——接收望远镜的有效接收面积； β(R ) ——距离R 处大气后向散射系数； T (R ) ——大气透过率。

大气透过率与大气消光系数α有关，可表示为：
()()(
)
exp R
T R r dr α=-⎰………………………………（A.2）
将公式（A.2）代入激光雷达方程中，经过变形可得：
()()()(
)
2
100
exp 2R
r R R R C P A R r dr βα=-⎰……………………（A.3）
公式（A.3）两边取自然对数后求导后可得：
()()()()12dS R d R R dR R dR
βαβ=-………………………（A.4）
式中：
S (R )——距离平方校正信号P (R )R 2取自然对数。

在Klett 反演算法中，首先假设大气消光系数α与后向散射系数β之间存在如下关系：
2C k βα=…………………………………………（A.5）
式中： C 2——常数；
k ——与激光探测波长和气溶胶性质有关，范围一般在0.67~1之间。

将公式（A.5）代入到公式（A.4）中，可得：
()()()()=2dS R d R k R dR R dR
ααα-…………………………（A.6） 对公式（A.6）求解，可得大气消光系数。

()()()()()
()()()()(
)
1exp =
2exp m m R m m
R S R S R k
R R S r S R k dr k αα--⎛⎫+- ⎪⎝⎭
⎰………………（A.6）
式中：
R m——参考距离，一般选探测区域的最远距离。

附 录 B （资料性附录） Fernald 反演算法
在Fernald 反演方法中将大气看作两部分：大气分子与气溶胶。

β(R )可表示为大气分子后向散射系数和气溶胶粒子的后向散射系数之和，α(R )可表示为大气分子消光系数和气溶胶消光系数之和。

()()()m a R R R βββ=+………………………………（B.1）
式中：
βm (R ) ——距离R 处大气分子后向散射系数； βa (R ) ——距离R 处大气气溶胶后向散射系数。

()()()m a R R R ααα=+………………………………（B.2）
式中：
αm (R ) ——距离R 处大气分子消光系数； αa (R ) ——距离R 处大气气溶胶消光系数。

定义气溶胶的消光后向散射比为：
()
()
a a a R S R αβ=
…………………………………………（B.3）
定义分子消光后向散射比为：
()
()
m m m R S R αβ=
…………………………………………（B.4）
S m 的值一般认为是常数8π/3。

根据激光雷达方程，经过积分、取自然对数以及求导等运算后，得到参考高度R c 处以下各高度上的气溶胶消光系数为（后向积分）：
()()()()()
()()222()exp[2(
1)]
()2exp[2(1)]c c c R a
m R a m
a m R R c c a m m R R a m
a c m m
c S R P R r dr S S R R R P R S S r P r dr dr
S S R R S r αααααα-=-+
+-+⎰⎰⎰ ……（B.5）
R c 处以上各高度的气溶胶消光系数为（前向积分）：
()()()()()
()()222()exp[2(
1)]
()+2exp[2(1)]c
c c R R R a
m R a m a m c c a m
m R R a m
a c m c m
S R P R dr S S R R R P R S S r P dr dr
S S R R S r r r αααααα-=-+
-+⎰⎰⎰
……
（B.6）
参考高度R c 一般选取不含气溶胶的清洁大气层所在的高度。

大气中分子的尺度谱和密度等分布相对比较稳定，因此，分子的消光系数可根据美国标准大气分子模式较为精确地确定：
4.0117
-23
-7()2731()9.80710()101310m a P R R T R αλ⎛⎫
=⨯⨯⨯ ⎪
⨯⎝⎭
…………………（B.7）
式中：
T (R ) ——大气分子的温度随高度R 的变化； P a (R ) ——大气分子的压强随高度R 的变化； λ——激光发射波长。

T (R )与P a (R )可通过1976年美国标准大气模型得到。