1.12(1) y(n) = 4δ (n + 1) + 4δ (n −1) + δ (n − 3) − 2δ (n − 5) − δ (n − 7)
⎧ 2 − 0 .5 n 0≤n≤4 (2) y ( n ) = ⎨ n − 4 0 .5 ( 2 − 0 .5 4 ) n≥5 ⎩
(3) y ( n) = δ (n) + 2δ (n − 1) + 3δ ( n − 2) + 6δ ( n − 3) − 4δ (n − 4) − 8δ ( n − 5) 1.14 (1) 因果、稳定。 (2)系统是因果,不稳定 (n → ∞ )
∑
y ( n) z
−n
=
n =−∞
∑
x( −n) z
−n
=
m=−∞
∑
x( m)( z −1 ) − m
1 1 < z< Rx + Rx −
1 , 1.10 (1) 1 − ab
ab < 1
(2) 1
n0 a n0 (3)
1.11(1) (2) (3) (4) (5)
该系统不是线性系统；该系统是时不变系统。 该系统不是线性系统；该系统是时不变系统。 线性系统时不变系统。 线性系统时不变系统。 线性系统时变系统
∞ n − jωn (4)G (e jω ) = ∑ x( ) e = ∑ x( m) e − jω 2 m = X ( e j 2ω ) n =−∞ ( 偶数） 2 m =−∞
∞
1.5 (1) (3)
z
− n0
1 (2) 1 − 0.5 z −1 ,
| z |> 0.5
1 , −1 1 − 0.5z
= − 1;
z =1
d X ( z) 1 d −1 2 B= [ × ( z − 1) ] × = = −1; dz z 1! z =1 dz ( z − 2) z =1
−1 −1 1 所以X ( z) = + + 2 ( z − 1) ( z −1) ( z − 2)
x(n ) = −nu (n ) − u (n ) + 2 n u (n ) x(n ) = −nu (n ) − u (n ) − 2n u (−n − 1)
n −2 (2) f (n ) = a u (n − 2)
1 − a n+1 (3) f ( n) = 1− a
0 ≤ n ≤ N − 1; f (n ) = a
− ( N −1) + n
1− aN 1− a
n ≥ N;
g ( n) = ( n − 3)2 3n−3 f ( n − 3) + (n − 3)3n−3 f (n − 3) 1.18 1.20 (1) a < 1;
所以系统为全通系统。
| z |< 0.5
(4)
1 − (0.5 z −1 )10 , −1 1 − 0.5 z
| z |> 0
1− z− N 2 ) , z > 0; 1.6 (1) X ( z) = z −1 ( −1 1− z dX ( z ) z (2)利用性质Z [nx (n)] = − Z ; 其中X ( z) = Z [ a nu( n)] = dz z −a d z az 所以Z [nx (n)] = − Z [ ]= z >a 2 dz z − a ( z − a )
(2)零点z = a −1 , 极点z = a , 收敛域 z > a
(3)
H (e jω ) =
1 a
jIm(z) jIm(z)
A
ABO∽△ACO
B
∴
AB OB = = a −1 AC OA
(为常数)
O
C
Re(z ) Re(z)
H (e jω ) = H ( z) z =e jω
e jω − a −1 AB = jω = = a−1 e −a AC
k =−∞（偶数）
∑
x( n)z +
−k
k =−∞（奇数）
∑
x( n)z−k
= ∑ x(n)z
n=−∞
+ ∑ x(n)z −2 n+1 = X ( z2 ) + X ( z2 ) z−1 = (1 + z−1 ) X( z2 )
n =−∞
∞
∞
∞
(4)Y ( z ) = = X (z )
−1
n =−∞
(3) 当n0＞0时，该系统是因果系统， 当n0＜0时，该系统是非因果系统；
∵ h( n) = δ (n − n0 )∴系统稳定。
（4）因果、稳定。 （5）因果、稳定。 （6）因果、稳定。 （7）因果、不稳定。 （8）非因果、稳定。
1 1.15(1)差分方程 y ( n) = x( n − 1) + y ( n − 1) 3
− jω n
=
∞
n =−∞
∞ − jω n
∑
x( m) e− jω ( m+ n ) = e− jω n X ( e jω )
0 0
(3)G (e jω ) =
∞
n =−∞
∑ g (n )e
− jω n
=
n =−∞
∑ x (2n )e
=
m =−∞( 偶数）
∑
x (m )e
− jω
m 2
m m m − jω − jω − jω 1 1 ∞ 1 ∞ = ∑ [ x (m ) + ( −1) m x (m )]e 2 = ∑ x (m )e 2 + ∑ x (m )e jπ me 2 2 m= −∞ 2 m= −∞ m=−∞ 2 ω ω ω ω j j ( −π ) j j 1 1 1 1 = X ( e 2 ) + X ( e 2 ) = X ( e 2 ) + X ( −e 2 ) 2 2 2 2
z > a;
(3)
az −1 + a 2 z −1 X ( z) = , −1 3 (1 − az )
z >a
X ( z) 1 A B C 1.7 解： = = + + z ( z − 1) 2 ( z − 2) ( z −1) 2 ( z −1) ( z − 2) C= X ( z) X ( z) × ( z − 2) = 1；A = × ( z − 1)2 z z z =2
1.1周期序列，最小周期长度为5。 1.2 (1) 周期序列，最小周期长度为14。 (2) 周期序列，最小周期长度为56。
∞ ∞ − jω n
1.4(1)
∞
n =−∞
∑ kx (n )e
=kቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n =−∞
∑ x (n )e
∞
− jω n
= kX (e jω )
(2)
n =−∞
∞
∑
x( n − n0 )e
具有线性特性 ; 而 y (n − n0 ) = (n − n0 ) x(n − n0 )
(5)解：T [ax1 (n) + bx2 (n)] = n[ax1 (n) + bx2 (n)] = ay1 (n) + by2 ( n)
T[ x(n − n0 )] = nx(n − n0 ),
所以T [ x(n − n0 )] ≠ y(n − n0 )，具有使不变性；因此，是线性时变系统。
则零状态响应：Yzs ( z ) = H (Z ) X (z ) = 3 1 ∴ yzs ( n) = [1 − ( ) n ]u( n) 2 3 ∴
z 3 z 1 = [ − ] 1 z −1 2 z −1 1 z− z− 3 3
1 i
3 1 1 y ( n) = yzi ( n) + yzs (n) = [ − ( ) n ]u (n) 2 2 3
y(n)=1,n=0 y(n)=4*3-n ,n≥1 y(n)=1, =0；y(n)=4 y(n)=4*
1 （2）差分方程为：y (n) = x( n − 1) + y( n − 1) 3 1 设零输入响应为：y zi = A( ) n u (n),∵ y (0) = 1,∴ y (−1) = 3 y (0) − x( −1) = 3 3 1 由起始条件y (−1) = 3可解得A = 1， y zi = ( ) n u( n) ∴ 3 z −1 1 由差分方程可得系统函数为： ( z) = H = 1 1 1 − z −1 z − 3 3
z > 2;
1 < z < 2;
x(n ) = nu ( −n − 1) + u ( −n − 1) − 2 n u ( −n − 1)
z <1
1.8(1)
− u (n) − 2n +1 u (−n − 1)
n n (2) − 6(0.5) u ( n) − 4 ⋅ 2 u (− n − 1) 1 + cos ω0 (cos nω0 + sin nω0 )u (n) (3) sin ω0 −1 −n (4) − aδ ( n) + ( a − a ) a u ( n)
3 1 1 n 3 1 n−5 (3) y ( n) = [ − ⋅ ( ) ]u ( n) + [1 − ( ) ]u (n − 5) 2 2 3 2 3
1 1.16 y(n)=1, n=0 y(n)=3*2-n , n≥1 =0； y(n)=3*
1 [a n +1 − (b) n +1 ]u ( n) 1.17(1) f ( n) = a−b
X ( c −1 z ) 1.9(1)
∞ k −k （2）Y ( z) = ∑ y( k) z = ∑ x( )z = ∑ x( n)z−2n = X ( z 2 ) k =−∞ k =−∞(偶数） 2 n =−∞ −k ∞ ∞