实验13 回归分析
【实验目的】
1. 了解回归分析的基本原理，掌握MATLAB 实现的方法；
2. 练习用回归分析解决实际问题。
【实验内容】 【题目2】
电影院调查电视广告费用和报纸广告费用对每周收入的影响，得到下面的数据（见下表）， 建立回归模型并进行检验，诊断异常点的存在并进行处理。
2.1 模型分析
本题研究电视广告费用与报纸广告费用对电影收入的影响。
我们首先尝试线性回归，由R 2 值判断回归模型是否合理。
如果不合理， 再采取其他方法进行回归分析。
设电视广告费用为1x ，报纸广告费用为2x ，每周电影院收入为y 。
建立如下模型：
22110x x y βββ++=
2.2 matlab 求解
得到如下结果：
整理成表格如下：
在残差及置信区间的图中，第一个点的残差的置信区间不包含零点，以红色标出。
残差应该服从均值为0的正态分布，可以认为这个数据是异常的，偏离了数据整体的变化趋势，给模型的有效性的精度带来不利影响，应予以剔除。
2.3 剔除点后重新计算
删除第一个点后重新计算，将输出结果同样以表格表示。
剔除第一个异常点后，R2=0.97685，相比之前有了增加，拟合的线性性有了提高；相比之前的模型，p值也有了明显的减少，远小于显著性水平α，这表示置信概率大大提高了；s2 也有了减小，说明了偏差减小。
综合以上几点，说明这个二元线性的模型比较合理，回归效果很好。
拟合公式为y=81.4881+1.2877x1+2.9766x2
2.4 小结
本题是个较为直观的线性回归题，在它的计算中出现了异常点。
剔除后计算可以得到一个回归效果相当好的模型。
【题目8】
汽车销售商认为汽车销售量与汽油价格、贷款利率有关，两种类型汽车（普通型和豪华
型）18个月的调查资料如表，其中y
1是普通型汽车售量（千辆），y
2
是豪华型汽车售量（千
辆），x1是汽油价格（元/gal），x2是贷款利率（%）
（1）对普通型和豪华型汽车分别建立如下模型：
y 1=β
(1)
+β
1
(1)
x1+β
2
(1)
x2，y
2
=β
(2)
+β
1
(2)
x1+β
2
(2)
x2
给出β的估计值和置信区间，决定系数R2,F值及剩余方差等。
（2）用x3=0,1表示汽车类型，建立统一模型y=β
0+β
1
x1+β
2
x2+β
3
x3，给出给出β的
估计值和置信区间，决定系数R2,F值及剩余方差等。
以x3=0,1带入统一模型，将结果与（1）的两个模型的结果比较，解释二者的区别。
（3）对统一模型就每种类型汽车分别作x1和x2与残差的散点图，有什么现象，说明模型有何缺陷？
（4）对统一模型增加二次项和交互相，考察结果有什么改进。
8.1 根据模型分别求解
由题意，对普通型和豪华型汽车分别建立如下模型：
y 1=β
(1)
+β
1
(1)
x1+β
2
(1)
x2，y
2
=β
(2)
+β
1
(2)
x1+β
2
(2)
x2
此为二元线性回归，可用matlab编写程序如下：
得到如下图：
在残差及置信区间的图中，有三个点的残差的置信区间不包含零点，以红色标出。
残差应该服从均值为0的正态分布，可以认为这个数据是异常的，偏离了数据整体的变化趋势，给模型的有效性的精度带来不利影响，应予以剔除。
8.2 剔除点后的模型求解
（1）对于y
1=β
(1)
+β
1
(1)
x1+β
2
(1)
x2
剔除第14、18个点后
继续自此基础上剔除第11个点
（2）对于y
2=β
(2)
+β
1
(2)
x1+β
2
(2)
x2
剔除第14个点后
继续剔除第七个点，得到残差及置信区间图如下：
将输出结果汇总成下表：
可得模型如下：
普通型：y=107.5601-37.9283x1-3.0314x2豪华型：y=29.7583-6.7738x1-1.6367x2
8.3 建立统一模型
建立统一模型y=β
0+β
1
x1+β
2
x2+β
3
x3，用x3=0表示普通型，x3=1表示豪华型，
此时为三元线性回归，可用matlab编写程序如下：
输出如下结果：
可得模型为：y=64.5753−16.1436−2.3322x2−14.4222x3，x3=0表示普通型，x3=1表示豪华型。
即：
普通型：y=64.5753−16.1436−2.3322x2
豪华型：y=50.1531−16.1436−2.3322x2
可以看出：统一模型相当于将分立模型进行了统一：
(1)统一模型的β值趋近于给分立模型的“平均”；
(2)统一模型的残差较大；
(3)统一模型的决定系数较小；
(4)统一模型的拒绝概率较小，到达了10的-12次方量级，说明模型更加有效；
总体上讲，将两者统一后进行回归分析的结果有其优点，但是仍有许多不理想的成分。
8.4 就每种类型汽车分别作x1和x2与残差的散点图
得到如下图形
对比以上各图，发现针对同一变量（x1或x2），两种类型汽车所得的残差变化趋势不一致，说明x1、x2与x3有交互作用，即模型的缺陷是缺少二次项和交互项。
8.5 对统一模型增加二次项和交互相进行回归
(1)增加交互项，改用模型：
y=β
0+β
1
x1+β
2
x2+β
3
x3+β
4
x1x2+β
5
x2x3+β
6
x
3
x1
进行回归分析
得到如下结果：
发现R2、F和s2都有所改善，模型有效的概率也有所提高，但是x1，x2的置信区间都包含0，这应当是由于引入交互项x1x3和x2x3导致的。
（2）增加二次项
改用模型：
y=β
0+β
1
x1+β
2
x2+β
3
x3+β
4
x12+β
5
x22
这里不增加x32是因为它和x3一样。
将程序改为
得到如下结果：
发现x1*x1的置信区间仍包含0点。
（3）综合
综合以上分析，建立如下模型：
y=β
0+β
1
x1+β
2
x2+β
3
x3+β
4
x1x3+β
5
x2x3+β
6
x22
将程序改为
输出结果如下：
拒绝模型的概率达到10的-15次方。
模型如下：
y=25.2153+17.5089x1−0.3020x2−28.2975x3−4.2510x1x3+2.2850x2x3 +0.3184x22
【实验总结】
这是本学期数学实验的最后一次作业，总体来说比较顺利。
这部分内容综合了之前学习过的优化以及统计推断的内容，是综合性较强的一部分，很好地帮助我复习了以前学习过的内容。
收获简要总结如下：
1、学习了回归分析相关知识，包括一元线性回归、多元线性回归以及非线性回归；
2、了解了残差分析、交互作用等内容；
3、学习了使用MATLAB进行回归分析的方法；。