b
由牛顿定律： F ma b b b b a dr dv A m a dr m dr m dv m v d v dt b a dt a a a 1 1 2 2 易证： mv mv mv dv v dv vdv 2 1 2 2 a
——保守力与等势面正交。 若再取小位移dl 与力同向（由点a到点b′） 0 0 dEp 则：F dl Epa Epb dEp
Ep
——沿保守力方向，势能减小。 综上，等势面与保守力具有如下关系： 1) 等势面与保守力处处正交。 2) 保守力总是指向势能减小的方向。
则：从位置a到b的过程中，力 F 所作的总功为：
S 或 r

F
1) 功是一个过程量
2) 功是标量
A
r2
r1
F dr
但有正负之分
3) 功是相对量 与参照系的选择有关 4) 计算功的条件： 已知力与位置的函数关系
F F (r )
例1 光滑的水平桌面上有一环带，环带与小物体的摩擦系数 为 m ，在外力作用下使小物体（质量 为m ）以速率 v 做 匀速率圆周运动，求转一周摩擦力做的功。 解： r v m受环带的压力 N m r 2 v 则滑动摩擦力： f mm r 2 πr 2 πr 转一周所作的功： A 0 f2dS f 0 dS v mm 2πr r 2 2πmmv
2
3、功率（Power） ——力在单位时间内所作的功
问题：某个力在单位时间内产生的冲量是多少？ 二、质点的动能定理(Theorem of Kinetic Energy)
d A dr F F v P dt dt
设质点所受合力为 F
A F dr
重力势能： 弹簧的弹性 势能：
Epb Epa A mg (h2 h1 ) 1 2 2 Epb Epa A k ( x2 x1 ) 2 Ep Ep 0
a
3) 势能Ep本身的值具有一定的任意性，与“势能零点”的选 设势能零点为a点，则任意点b处的势能应为： 择有关。
三、由势能梯度求保守力
F 1、等势面与保守力的关系 d l a b′ 等势面：由势能相等的点组成的曲面 b dl 等势面满足的方程：Ep ( x , y , z ) 常量 考虑任一等势面 在等势面的任一点处取小位移 l d 则：F dl Epa Epb dEp 0 F dl
1 2 Ep kx2 2
或
4) 两个物体通过保守力（“一对内力”）相互作用，相应的 势能由二者所共有，是两物体间相对位置的函数。
Ep Ep ( r ) 或 Ep Ep ( x , y , z )
——势能也是状态量（瞬时量）
思考：
a) 一质量为m的物体从0势能点上升了高度h1，其重力势能 是多少？此后又升高了h2，其重力势能又增加了多少？ b) 将一个弹性系数为k的弹簧从自然状态拉长了l1，其弹 性势能是多少？此后又拉长了l2 ，其弹性势能又增加 了多少？
与保守力相对的概念称为耗散力（Dissipative Force）， 如摩擦力。
二、势能（Potential Energy） 在保守力作用下，质点从相对位置a到b，所做的功只与这 两点的相对位置有关，可引入一个只与相对位置有关的函 数， a、b两点的函数值之差，对应于保守力所做的功，该 函数就是势能函数。 定义：设位置a的势函数为Epa，b的势函数为Epb，保守力 的总功为A，则两点的势能之差为
b
f dr
万有引力势能
势能零点: 无穷远处
Gm1m2 Ep r2
或
r1 Gm1m2 r
万有引力势能 （无穷远处势能=0） 重力势能
Gm1m2 Ep r
势能零点: 高度为零处
Ep mgh2
弹簧的弹性势能
h1 0 x1 0
或
mgh
1 2 kx 2
势能零点: 形变为零处
dr m 2 f
r2
b m1m2 r r r a 1 A G 2 dr a r r
m1
b m1m2 r A G 2 dr a r r 易证： r dr rdr m1m2 A G 2 dr a r r2 m1m2 G 2 dr r1 r 1 1 Gm1m2 ( ） r2 r1
三、由势能梯度求保守力 2、势能梯度 在任一点处取小位移 dl（由点a到点b ）
则：dEp F dl Fdl cos
dEp
dl 当 π 2时： dEp dl 0 ——势能减小
沿保守力方向势能减小最快
F cos 称为E p沿着dl 的方向导数
d h mg
思考：小球下落至何位置时，速度的竖直分量最大？
三、一对内力的功 考虑任一“元过程”（时间：t-t+dt）
两质点的位移为： dri dr j
一对内力所作的总功：
dri f ij m i
z ri
dA f ij dri f ji drj o 由牛顿第三定律： f ij f ji y x dr ji dr dA f ji (drj dri ) dri j f ji d( rj ri ) r r r j i ji mj相对于 mj相对于mi f ji dr ji
m1

f dr 0
m2 f
L
r2
路径2

常见的保守力： a. b. c.
f dr 0
L
L
——保守力的定义式
1 1 万有引力的功： A Gm m ( ） 1 2 r2 r1 重力的功： A mg (h2 h1 ) 1 弹簧力的功： A k ( x 2 x 2 ) 2 1 2
dEp dl
F cos
E p dE p Ep
F
b a θdl
定义
dx x y Ep Ep Ep 亦即： F x i y j z
Fx
dE Epp
Fy
Ep
Fz
E p
势能的梯度矢量（Gradient of Potential Energy）：

Tdr v
h
m
d h mg
mg dr mg dr cos mg dh ( 0) (mg T ) dr mgh
mgl sin
1 得： mv 2 mgl sin 2

Tdr v
h
m
v 2 gl sin
梯度矢量的大小： 势能函数沿上述方向的导数。
k
2) 对于一维情况，势能函数可表达为 Ep Ep ( x )（势能曲线）
保守力为： F

dE p dx
——x处的保守力的值等于该处势能曲线的负斜率。 3) 此为保守力与势能的微分关系，它与积分关系等价。
由动能定理得∶
解得：
例2 质量为m的小球系于长为l的轻绳的一端，令其由水平静止 状态自由下摆，忽略空气阻力。求：当摆至 角时，小球 的速率v。 解：用动能定理求解 合力为： m g T
1 2 则有： mv 0 ( mg T ) dr 2 易知： T dr 0 mg dr mg dr cos mg dh ( 0)
E p dE p Ep
F
b a θdl
dEp dl F ——势能随位置的变化率为极小值 若 0：
当 π 2时：dEp dl 0 ——势能升高
dEp dl E (dEp dl )max 若 π：
逆着保守力方向势能升高最快
——势能随位置的变化率为极大值
方向导数 另一方面：
z k
则：
Ep Ep Ep E p i j k y z x
F Ep
——保守力等于势能函数的负梯度
Ep Ep Ep F E p x i y j z 说明：
1）由以上分析知： 梯度矢量的方向： 势能函数的增加最快的方向。
第4章 动能与势能
力的空间累积作用规律
——功 动能定理
机械能守恒定律
§1 功
动能定理
一、功（Work） 考虑力的空间积累作用 1、恒力作用于作直线运动的物体：
A FS cos F S (或：F r )
对于变力作用的情况：
2、功的一般定义
定义任意无穷小位移 dr 对应的“元功”为： dA F dr
考虑合力在质点由a运动至b时所作的功：
a
v1
F
v2
b
1 1 2 2 A F dr mv 2 mv 1 2 2 a
定义：质点的动能（Kinetic Energy )为
b

1 Ek mv 2 2 则上式又可写为：Ek Ek 2 Ek 1 A
——某一过程中质点动能的增量等于其所受的合力所的总功。 1) 动能为标量 2) 动能为瞬时量（状态量） 3) 动能定理的特点： 动量呢？ ——矢量、瞬时量
b
路径1
b
dr m 2 f
r r a 1
m1
r2
A
b
a
1 1 f dr Gm1m2 ( ） r2 r1
路径1
b
若另取一个路径2，由点a运动至点b 显然：所算得的功与上面相同 尤其是：当所取的路径为一个首尾 相接的任意闭合路径L时，总功为：