200 200 P X i 20500 1 P X i 20500 i 1 i 1 200 X i200 μ 20500200 μ i 1 1 P 200 σ 200 σ
2 D ξ σ (3)期望和方差都存在： Eξ i μ, i ( i 1,2,..., n,...) 2 (4)方差 σ 0 n n μ ξ i i 1 则对一切 x, 有 lim P 0 ( x ) x n nσ
当随机变量序列 ξ1 , ξ2 ,..., ξn ,... 满足定理 的条件时, 由极限
解 设箱内第 i 袋味精 的净重为 X克 i ( i 1,2,...,200) X1 , X 2 ,..., X 200 独立,同分布;
2
2
EX i 100 μ DX i 10 σ 200 200 P X i 20500 1 P X i 20500 i 1 i 1 200 X i 200 μ 20500 200 μ i 1 1 P 200 σ 200 σ 20500 200 μ 5 500 1 0 1 1 0 0 2 200σ 10 200
12
P X i 1202 1 P X i 1202 i 1 i 1 1200 X i1200 μ 12021200 μ i 1 1 P 1200 σ 1200 σ
解 设第 i个零件 的重量为 X公斤 ( i 1,2,...,1200) i X1 , X 2 ,..., X1200 独立,同分布; EX i 1 μ 2 2 0.1 1200 1200 DX i
ξ i nμ i lim P 1 n nσ
n
x 0 ( x )
当n充分大时,有
n 1 ξ μ ξ n μ i n i 1 i i 1 P 0 ( x ) P x 0 ( x ) x σ nσ n n nμ ξ i x nμ x nμ i 1 n P ξ i x P 0 nσ nσ i 1 nσ
n
例 用机器包装味精, 每袋味精的净重为随机变量, 期望值为100克,标准差为10克, 一箱内装有200袋 味精, 求一箱味精净重大于20500克的概 率. 的净重为 X i 克. 解 设箱内第 i袋味精 ( i 1,2,...,200) X1 , X 2 ,..., X 200 独立,同分布; ... X 200 2 2 X X 1 2 EX i 100 μ DX i 10
设一列随机变量 ξ1 , ξ2 ,..., ξn ,... 满足： (1) 相互独立; (2)服从同样的分布; 2 (3)期望和方差都存在： Eξ i μ, Dξ i σ (4)方差不等于0. 则
n
( i 1,2,..., n,...)
ξ μ nμ i 1 i 1 i 1
1 0 3.54 1 0.99980 0.0002
X1
X2
... X 200
例 用机床加工大小相同的零件, 标准重1公斤, 由于随机误差, 每个零件的重量 在 0.95, 1.05 上 均匀分布, 求制造1200个零件, 总重量大于1202 公斤的概率.
解 设第 i个零件 的重量为 X i 公斤.( i 1,2,...,1200) X1 , X 2 ,..., X1200 独立,同分布; EX i 1 μ 2 2 0.1 1200 1200 DX i
P X i 1202 1 P X i 1202 i 1 i 1 1200 X i 1200 μ 12021200 μ i 1 1 P 1200 σ 1200 σ 1 20 2 120 0 μ 2 1 0 1 0 0.1 1200σ 10 12 12 1 0 2 1 0.97725 0.02275
ξ nμ
i 1 i
n
i 1
~ 近似
nσ
N (0,1) ~ 近似
ξ i nμ P i 1 x 0 ( x ) nσ
n
定理3.11 (独立同分布 中心极限定理) 设随机变量序列 ξ1 , ξ2 ,..., ξn ,... 满足：
(1) 相互独立; (2)服从同样的分布;
n
n
~ 近似
2 n σ n μ , N

2 2 D ξ i Dξ i σ nσ i 1 i 1 i 1
n n
设一列随机变量 ξ1 , ξ2 ,..., ξn ,... 满足： (1) 相互独立; (2)服从同样的分布; 2 D ξ σ (3)期望和方差都存在： Eξ i μ, i ( i 1,2,..., n,...) (4)方差不等于0. n 2 ξ i N nμ, nσ 则