3.1 一维晶格的振动
3.1.1 一维单原子链的振动
1. 振动方程及其解 (1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为
a，原子质量为m。
模型 运动方程
试探解
色散关系
波矢q范围 B--K条件
波矢q取值
一维无限长原子链，m，a，
n-2 n-1 n mm
n+1 n+2
a
..
m x n x n x n 1 x n x n 1
x M 2 n x 2 n 1 x 2 n 1 2 x 2 n
..
x m 2n1 x 2 n 2 x 2 n 2 x 2 n 1
x
Aei2n1aqt
2 n1
x
Bei2naqt
2n
相隔一个晶格常数2a的同种原子，相位差为2aq。
色散关系
2co as q A M 22B0 m 22A 2co as q B0
a h12 h22 h32
由
2π Kh
d h1h2h3
2π
d K 得： h1h2h3
h1h2h3
简立方：a 1 a i,a 2 aj,a 3 a k ,
b12πa2a3 2πi
Ω
a
b22πa3a1 2πj
Ω
a
b32πa1a2 2πk
Ω
a
b1 2π i a
b2 2π j a
2π b3 k
2n-1
2n
2n+1
2n+2
M
m
质量为M的原子编号为2n-2 、2n、2n+2、···
质量为m的原子编号为2n-1 、2n+1、2n+3、···
x2n-2
x2n-1
x2n
x2n+1
(2)方程和解
..
x m x x
n
nk k
n
k
x2n+2
若只考虑最近邻原子的相互作用，则有：
..
0(+)-----光学支格波， A(-)-----声学支格波
(1)色散曲线
o 2 m m M M m 2 M 2 2 m c 2 M o a 1 2 s q
A 2 m m M M m 2 M 2 2 m c 2 M o a 1 2 s q
（5）晶体的均匀性
晶体中任意两点(在同一方向上)的 物理性质相同。
（6）晶体的对称性: 晶体在某几个特定方向上可以异向同性，这种相同的性 质在不同的方向上有规律地重复出现，称为晶体的对称性。
（7）晶体固定的熔点: 给某种晶体加热，当加热到某一特定温度时，晶体开始 熔化，且在熔化过程中保持不变，直到晶体全部熔化，温度才 开始上升，即晶体有固定的熔点。
Rl K h (l1 a1 l2 a 2 l3 a 3 ) (h1 b1 h2 b2 h3 b3 ) 2 π (l1 h 1 l2 h 2 l3 h 3 )
2π
3. Ω* 2π3 (其中和*分别为正、倒格原胞体积)
Ω
例：证明简立方晶面(h1h2h3)的面间距为
d h1h2h3 证明：
第一章 晶格结构
1.1 晶体的特征
晶体的宏观特性
（1）自限性: 晶体所具有的自发地形成封
闭凸多面体的能力称为自限性。
d a 1 b2
c
（2）晶体的解理性:
晶体沿某些确定方位的晶面
劈裂的性质，称为晶体的解理性，
这样的晶面称为解理面。
（3）晶面角守恒定律： 属于同一品种的晶体，两个对应晶面间的夹角恒定不变。 （4）晶体的各向异性 在不同方向上，晶体的物理性质不同。
x M 2 n x 2 n x 2 n 1x 2 n x 2 n 1
x 2 n 1 x 2 n 1 2 x 2 n
..
x m 2 n 1 x 2 n 1 x 2 n 2 x 2 n 1 x 2 n
x 2 n 2 x 2 n 2 x 2 n 1
..
一个晶格最小的周期性平移单元—也称为固体物理学 原胞。 （晶胞：晶格中能够反映对称性和周期性的平移单元） （2）基矢：
指原胞的边矢量，一般用 a1,a2,a3 表示.
原胞（primitive cell)
固体物理学原胞：是以基矢 a1,a2,a3 为棱的平行 六面体。以一个格点为顶点，以三个不共面方向上 的周期为边长构成的平行六面体。每个元胞只包含 一个原子.
a
b1 2π i a
b2 2π j a
b3 2π k a
K h 1 h 2 h 3 h 1 b 1 h 2 b 2 h 3 b 3
2aπh1ih2jh3k
Kh1h2h3
2π a
h1 2h2 2h3 2
2π
d K h1h2h3
h1h2h3
a
h12 h22 h32
思考面心立方、体心立方的面间距求法。
配位数：一个原子周围最近邻原子的数目。
致密度(or堆积系数)：晶胞中原子所占体积与晶胞体积之 比.
要求掌握SC、BCC、FCC的配位数和致密度计算
例1：求面心立方的致密度.
设晶格常量为a，原子半径为R，则 a k
V a3
单胞体积
v N 4 πR 3 3
单胞中原子所占体积
4R 2a
N是单胞中原子个数
的列阵即为倒格。
倒格基矢的方向和长度如何呢？
b1 2π a2 a3 Ω 2π b2 a3 a1
Ω
b3 2π a1 a2 Ω
b3 ab3 2
a2
a1
a2 a3 2π
b1 2π
Ω
d1
b2 2π d2
b1
b3 2π d3
一个倒格基矢是和正格原胞中一组晶面相对应的，它的方
向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的
1 11 Nni 2nf 4ne8nc
aj ai
内部原 面上原 棱上原 顶角上
子数
子数
子数 原子数
1 11 Nni 2nf 4ne8nc
N16184 28
致密度: v
V
4
4 3
π
2 3 4
2π 6
ak
aj
ai
V a3 v N 4 πR 3
3
4R 2a
金刚石晶格
构成：由面心立方单元的中心到顶 角引8条对角线，在互不相邻的4条 对角线的中点处各加一个原子，就 得到金刚石结构。----复式格子
xn Aeitnaq
2 sin aq
m2
2 m
πq π
a
a
xn xnN
π a
o
πa
晶格振动波矢的数 目=晶体的原胞数
3.2 一维双原子链(复式格)的振动
1. 运动方程和解
(1) 模型:一维无限长原子链，原子质量为m和M，且m<M。 相邻原子间距均为a，恢复力系数为。 (晶格常量为2a )
2n-2
所有的结合类型都和库伦力有关。
结合能 系统势能
2.2 结合力和结合能 分子相互作用的势能由二部分组成
AB U(r)
rm rn
吸引力
排斥力
排斥力主要来源于相邻原子间内层电子云的重叠。
由实验参数确定这四个参数。
假设r=r0时，系统达到平衡。
U 0
r r r0
r ( nB)1/ nm 0 mA
(q)(q) (qπ)q a
π q π
2a
2a
q0时:
omax
2(mM)
mM
2
2
2
O
m
A
2
M
0 Amin
折合质量
π 2a
o
πq
2a
q
π时 2a
:
o min
2
m
Amax
2
M
声学波，相邻原子的位移相同，原胞内的不同原子以相同 的振幅和位相作整体运动。因此，可以说，长声学波代表了原 胞质心的运动。
原胞体积为： a 1.a 2a 3
1.3 晶面和晶向
简单立方晶格的晶向标志
原胞，晶胞一致
av 3 av 2
av 1
C
[111]
[110]
B
O [100] A
立方晶格中的[100]，[110]， [111]晶向
立方边,面对角线,体对角线,不止一个,它们的晶向 指数确定方法同上.
二、晶面指数、密勒(Miller)指数：
声学支格波，相邻原子振
子振动方向是相反的。 动方向是相同的。
例2：金刚石结构有几支格波?几支声学波?几支光学波?设晶 体有N个原胞，晶格振动模式数为多少?
答: 晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数N， 格波振动频率数目=晶体的自由度数mNn， 晶体中格波的支数=原胞内原子的自由度数mn。
金刚石结构为复式格子, 每个原胞有2个原子。
晶体的宏观特性： 自限性、晶面角守恒、解理性、晶体的各向异性、晶体 的均匀性、晶体的对称性、固定的熔点。 晶体为什么具有这些宏观特性呢?
晶体的宏观特性是由晶体内部结构的周期性决定的, 即晶体的宏观特性是微观特性的反映。
1.2晶体结构
晶格： 晶体中原子排列的具体形式，称为晶体格子。 原子、原子间距不同，但有相同的排列规则， 则这些原子构成的晶体具有相同的晶格（如Cu 和Ag；Ge 和Si 等等）；简单格子和复式格子 （金刚石）。
1·晶面：布拉伐格子的格点还可以看成分列在平行 等距的平面系上，这样的平面称为晶面。
3 、密勒指数计算方法：
p
具体步骤：
m
n
① 建立坐标系：以晶胞的某一点格点为原点，过原 点平行于晶胞的三棱边为坐标轴，晶格常数为坐 标轴的度量单位。注意：坐标原点不能在待定晶 面上。