圆的面积
欧阳光明(2021.03.07)
圆是一种平面图形,再日常生活中到处可见.如圆桌,圆盘,车辆的轱辘,以及游戏用的棋子,飞盘,呼啦圈等,由于圆有着本身独特的性质,在某些地方是其它形状所不能代替的,车轱辘就是一个很好的例子.这一讲我们着重研究圆以及和圆有关的组合图形的求面积方法.圆的面积计算公式,扇形面积计算公式,同学们在课本上已经都
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2021.03.07
有初步的理解和掌握,我们主要讨论组合图形的面积的计算方法与技巧.
请注意常用的扇形:四分之一圆对应圆心角是90度,八分之一圆对应的圆心角是45度.
经典题再现
如下图所示,O是圆心,圆的周长等于75.36分米,点A、B、C都在圆周上,OABC是梯形,梯形的面积是98.28平方分米.AB = 20.76分米,那么阴影部分的面积是多少平方分米?(π取3.14)
解:由圆的周长可求圆的半径:
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75.36 = 2 × 3.14 × r,r = 12.
即OC = 12.
由梯形的面积及它的上底,下底已知,可求梯形的高.
98.28 = (12 + 20.76) ×高 ÷ 2,高 = 6.
阴影的面积 = 12 × 6 ÷ 2 = 12 × 3 = 36(平方分米).
典型例题
【例1】长方形长6分米,宽4分米,分别以长、宽为半径画弧,如图.那么阴影部分的面积是多少平方分米?
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*欧阳光明*创编 2021.03.07 解:226 3.144 3.146444⎛⎫⨯⨯-⨯- ⎪⎝⎭
= 16.82(平方厘米)
答:影阴部分的面积是16.82平方厘米.
【例2】 如图,半圆S1的面积是14.13平方厘米,圆S2的面积是19.625平方厘米,那么阴影部分的面积是多少平方厘米?
解:因为s1的面积为14.13平方厘米,所以半径的平方为14.13⨯2÷3.14 = 9,故半径为3厘米,直径为6厘米.
又因为s2的面积为19.625平方厘米,所以S2的半径的平方为
19.625÷3.14 = 6.25(平方厘米),所以它的半径为2.5厘米,直径为5厘米,所以阴影部分面积为(6 5)⨯5 = 5(平方厘米).
答:阴影部分的面积是5平方厘米.
【例3】如图,A与B是两个
)的圆心,那么,两个圆(只有1
4
阴影部分的面积相差多少平方厘米?
圆的解:观察上图可以发现大1
4
面积减去长方形的面积(包括小阴
圆影和大空白两部分)再减去小1
4
的面积.就是两个影阴部分的面积差.
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即
22113.14424 3.14244
⨯⨯-⨯-⨯⨯= 1.42(平方厘米)
答:两个阴影部分的面积相差
1.42平方厘米.
【例4】 如图,圆的直径
4cm ,ABCD 的面积是7cm2,∠ABC 等于30°,求阴影部分面积.
解:这个题许多同学将ABC 看成是圆心角为30°的扇形.这是错误的,因为AB 是直径,BC 不是,AB ,BC 不一样长,所以,ABC 不是扇形.
如下图,找到圆心O,连CO,AOC才是扇形.先要求这个扇形的圆心角,就可以求出它的面积.然后再求三角形COB的面积,用ABCD的面积减去,就是阴影面积.
阴影面积等于平行四边形面积减去扇形AOC的面积,再减去△BOC 的面积.
扇形的圆心角 = 180°(180° 30°× 2)= 60°.
扇形的面积 =2 × 2 × 3.14 × 60 ÷ 360 = 2.09(平方厘米).
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△BOC的面积 = 7 ÷ 2 ÷ 2 = 1.75(平方厘米).
阴影部分的面积 = 7 – 2.09 1.75 = 3.16.
答:阴影部分的面积是3.16平方厘米.
【例5】下图中阴影部分的面积是多少平方厘米?
解:两个空白部分拼起来正好是一个4×4的正方形.
所以阴影部分面积等于2×4的长方形面积.
2 × 4 = 8(平方厘米)
答:影阴部分的面积是8平方厘
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米.
【例6】如图所示,这是一个正六边形,它的面积为1040平方厘米.空白部分是半径为10cm的6个小扇形.求阴影部分的面积.
解:图中阴影部分的面积显然是正六边形的面积减去六个小扇形的面积.正六边形的面积已知,所以关键是求六个小扇形面积.
我们观察每3个小扇形可以拼成一个半径为10厘米的圆,6个小扇形可以拼成2个小圆形.阴影部分的面积就是正六边形的面积减去2个半径为10厘米的小圆的面积.
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*欧阳光明*创编 2021.03.07 6个扇形的面积为
3.14 × 102 × 2 = 628(平方厘米),
阴影部分的面积:1040 628 = 412(平方厘米).
答:阴影部分的面积为412平方厘米.
难题详解
如下图所示,在 4 × 7的方格纸板上画出如阴影所示的“9”字,阴影边缘是线段或圆弧.问阴影面积占纸板面积的几分之几?
解:矩形纸板共28个小正方形.其中弧线是14
圆周.非阴影部分共6个,也共6个.可拼成6
个小正方格.因此阴影部分共28 6 3=19个小方格.所以,
.
阴影面积占纸板面积的19
28
答:阴影面积占纸板面积的19
.
28
同步练习
1.如下图,ABCD为正方形,且FA = AD = DE = 2厘米,求阴影部分的面积?
2.有三个形状相同的圆形纸片,面积都是90平方厘米,重叠在一起(如图),盖住桌面的总面积是150平方厘米,三张纸片重叠的面积是28平方厘米,那么图中三个阴影部分面积和是多少平方厘米?
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3.已知图中各圆相切,小圆半径为1,求阴影部分面积.
4.已知每个圆的直径为6厘米,求阴影部分的面积.
5.图中正方形ABCD的边长是20厘米,求阴影部分面积.
6.如图,已知每个小正方形的面积为1平方厘米,求阴影部分面积.(注:所用分点均理解为所在边中点).
7.如图,大圆直径上的黑点是五等分点,求A,B,C三部分面积之比.
8.如图,O为圆心,C为扇形
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ACB 的圆心,CO 垂直于AB ,三角形ABC 的面积为45平方厘米,求阴影部分面积.
同步练习解答
1.图形DGC 为图形DBC 面积的一半,于是,阴影部分的面积为 ()()22
1
1133.1422222 3.1424242⨯⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯⨯= 2.43(平方厘米)
2.解:90 × 3 150 28 × 2 = 64(平方厘米)
3.如图I ,II ,III 部分面积是相等的,剩余3块小阴影面积也相等.那么所求阴影部分面积是一个小半圆面积加上大半圆减去2个小
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圆和3个小半圆剩余部分的13
. 阴影面积为:2π1π3πππ52π3π2322236
⎛⎫⨯+⨯--⨯=+= ⎪⎝⎭ 4.如图,长方形外的阴影部分一共3
311442
+=个圆,移至长方形内正好填满长方形,阴影部分的面积就是长方形面积.
阴影部分面积 = 6 × 2 × 6 = 72(平方厘米).
5.充分利用圆的对称性,如图,大扇形ABC 的半径是20,它的面积减去三角形ABC 的面积就是I 的面积.正方形ABCD 减去圆O 的面积就是4个II 的面积.
阴影部分就是ABCD 面积减去2个I ,4个II 的面积.
20
()
2211202π2020204(2020π10)42⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯
= 129(平方厘米)
6.阴影分成两部分,一部分是字母“A”,一部分是字母“r”.
字母“A”的面积,我们只需算一半,再2倍就可以了.
平行四边形ABCD 面积=1
3322
⨯= 梯形EFHG 面积=
()131********+⨯⨯= 字母“A”的面积()3
529123 3.62521688
+⨯===.
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字母“r”的面积
2π3662212.26⨯-⨯÷+=.
最后,阴影面积为
3.625 + 12.26 = 15.885(平方厘米).
7.显然,A 与C 面积相等,B 与C 面积比为
( 1.52 12):
[( 2.52 1.52 + 12)÷ 2] = 1∶2.
所以,A ,B ,C 面积比为:2∶1∶2.
8.设CA = CB = a ,OC = OB = OA = r .
则由三角形ABC 面积为45知,
1452a a ⨯⨯=,a2 = 90. 再以AB 为底计算三角形ABC 面积:
AB ⨯OC ⨯12=2⨯OA ⨯OC ⨯12
=b2知,b2 = 45.
阴影部分面积 = 半圆面积 + 三角形ABC 面积 扇形ACB 面积.即 45 + b2⨯3.14⨯
12 a2 ⨯3.14⨯14= 45 + 45⨯3.14⨯1
2 90⨯3.14⨯14= 45。