y1= y2=k(x+1) y1 ≥ 0 y1≥y2
y12+(x-1)2=1 y2=k(x+1) y1 ≥ 0 y1 ≥ y2
−1
O
1
x
(二)与不等式有关的问题 二 与不等式有关的问题 小结： 小结： 可以利用“数形结合”的思想求解不等 式中有关范围的问题
(三)与函数有关的问题 三 与函数有关的问题 例4
,
课堂小结
本节主要讨论了利用数形结合思想来解决一些抽 象数学问题的题型和方法： 象数学问题的题型和方法：
（一）与方程有关的问题 （二）与不等式有关的问题 （三）与函数有关的问题 （四）与几何有关的问题
数形结合的重点在于“以形助数” 通过“ 数形结合的重点在于“以形助数”，通过“以形 助数”使得复杂问题简单化，抽象问题具体化， 助数”使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而 起到优化解题途径的目的。 起到优化解题途径的目的。
2
的解集不为空集，则k的取值范围是多少？ 3 3 A. −∞, ，B. 0， 3 3 1 1 C. 0， ，D. −∞, 2 2
答案：B
(二)与不等式有关的问题 二 与不等式有关的问题 变式训练
不等式 2 x − x ≥ kx + k (其中k为常数）
高三数学第二轮专题复习
“数形结合”思想 数形结合” 数形结合 在高中数学中的应用
x>
1 x
考题热身
r o o 已知向量a = (cos 75 ,sin 75 ), r o o b = (cos15 ,sin15 ), r r 求 a − b 的值等于多少？
r r 答案： − b = 1 a
x>
1 x
y+3 1.斜率，如z = x+3
2 2.两点之间距离，如 z = x + 2） + ( y − 3) 2 （
3.截距，如z = x + y
4.点到直线的距离，如z = x + y + 1
（四）与几何有关的问题
x2 y2 练 已知x，y满足 + = 1，求y − 3x的最大值与最小值 习 16 25
y
设k =
3 y +1 x + y = 1, 求 f(x,y)= • 的最值. M 2 x+2 y +1 y − (−1)
x + 2 x − (−2) = 又转化为单位圆上动点
O
1
x
N(-2,-1) M M(x,y)与定点N(-2,-1)的连线斜率. 令 M N : y + 1 = k ( x + 2 ), 由 原 点 O 到 M N 距 离 为 1 得 :
例1 已知 < a <1 0 ，则方程a|x| =| log a x | 的实根个数为 ) ( Ｂ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 1个或2个或3个
y = a| x|与y =| log a x | 解析： 解析：判断方程的根的个数就是判断图象
的交点个数，画出两个函数图象， 的交点个数，画出两个函数图象， 易知两图象只有两个交 易知两图象只有两个交 两个 故方程有2个实根 y 个实根， 点．故方程有 个实根，选（B）。 ）。
而A，B关于直线y = x对称
∴α = 4 − β ,∴α + β = 4
一.与方程有关的问题 小结： 小结： 可以利用“数形结合” 可以利用“数形结合”的思想求解有 关 方程的根个数多少有关的问题
(二)与不等式有关的问题 二 与不等式有关的问题 例3
不等式 2 x − x =kx + k (其中k为常数）
2
的解集不为空集，则k的取值范围是多少？ 3 3 A. −∞, ，B. 0， 3 3 1 1 C. 0， ，D. −∞, 2 2
不等式
≥ k x + k(其中k为常范围是 Ａ (- ， ]Ｂ [0 , ]Ｃ[0 , ]
2
2
以2为半径的圆在x轴的上方的部分（包括圆与x轴的
交点）， 交点），如下图所示，y2 = (a −1)x表示过原点的直线系 ），
不等式 4x − x2 > (a − 1)x 的解 即是两函数图象中半圆 由于不等式解集 在直线上方的部分所对应的x值。 A ⊆ {x|0 < x < 2} 因此，只需要 a −1 > 1，∴ > 2 a
课后作业
完成学案上剩余的针对训练
（一）与方程有关的问题 （二）与不等式有关的问题 （三）与函数有关的问题 （四）与解几有关的问题
一.与方程有关的问题 例1
已 0 < a <1 则 程 =| loga x | 的 知 ， 方 a
|x|
实 个 为 根 数 (
A. 1个 C. 3个
)
B. 2个 D. 1个或2个或3个
一.与方程有关的问题
2k − 1 k2 +1 = 1, 解 得 : k = 0 或 k = 4 3 3 2 × 4 3 = 2
∴ f ( x , y ) m in = 0 , f ( x , y ) m a x =
（四与不等式有关的问题 (二)与不等式有关的问题 二 ）与解析几何有关的问题 小结： 小结：目标函数中几种常见的模型：
（四）与解析几何有关的问题 例5
3sin θ + 3 求f (θ ) = 的 2 cos θ + 4 最小值和最大值分别是多少？
令 解析： 解析： x=cos θ ,y=sin θ 问 题 可 化 为 :
2 2
（四）与解析几何有关的问题 3sinθ +3 求f(θ )= 的最小值_____最大值____ 2cosθ + 4
考题剖析
［解析］画出y=a|x|与y=x+a的图象 解析］
情形1： a > 0时
a＞ 0 a＞1
⇒
a＞1
(三)与函数有关的问题 三 与函数有关的问题
考题剖析
［解析］画出y=a|x|与y=x+a的图象 解析］
情形2： a < 0时
a＜ 0 ⇒ a＜ − 1
a＜－1
［点评］ 点评］ 在使用数形结合方法解决问题时，也要注意含字母参数 的讨论，本题中，主要是分a＞0与a＜０两种情况.
１
O
•
x
一.与方程有关的问题 例2
已知α是方程x + log2 x = 4的根， 而β是方程x + 2 =4的根，那么α+β =？
x
一.与方程有关的问题
例2:已知α是方程 x + log = 4 的实根, β是方程 2x + x = 4 的实根，那么 α +β=
y=2x B y=4-x y=log y=log y=2x A y=4-x y=x y=4-x A(α,4- α) B(β,4- β)
O
x
解析:设 解析 设y 1 = x 2 – 4|x| + 5，y 2 = m， ， ， 画出两函数图象示 意图，要使方程x 有四个不相等实根， 意图，要使方程 2 – 4|x| + 5 = m有四个不相等实根， 有四个不相等实根 只需使1 只需使 < m < 5.
y
5
y2 = m
1
o
x
y y 解析： y1 = 4x − x ， 2 = (a − 1)x，其中 1 = 4x − x 令
y
显然当直线y=kx(y>0)介于切线 介于切线 显然当直线 y=(x+1)2 于直线y=kx(y=0)之间时，两线只 之间时， 于直线 之间时 (x>-1) 有一个交点。 有一个交点。 . 1 当直线处于切线位置时，k=4 当直线处于切线位置时， （由上述方程组可得） 由上述方程组可得） 所以，的取值范围为k≥4或k<0 所以，的取值范围为 或
由∆ = 0，得b = ±13，
故 −3x的 大 为 ， 小 为−13 y 最 值 13 最 值
课堂练习
1.若方程 若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解 求常数 的取 只有一个实数解,求常数 若方程 只有一个实数解 求常数k的取 值范围 答案 则|z|的最大值为 2. 已知复数 满足| z − 2 − 2i |= 2 |z|的最大值为 z ，
数形结合思想
复习目标
数学：数量关系、 数学：数量关系、空间形式 数形结合：以形助数、以数解形 数形结合：以形助数、 复杂问题简单化、抽象问题具体化 复杂问题简单化、抽象问题具体化 简单化
名家名言
著名数学家华罗庚先生曾经这样说到： 著名数学家华罗庚先生曾经这样说到：
数缺形时少直觉 形少数时难入微
数形结合思想应用
函数y = a x 与函数y = x + a的图象恰有 两个公共点，则实数a的取值范围是（）
A. (1，+∞) ， B. (－1，1) － ， C. (－∞，－ ∪[1，+∞) － ，－1]∪ ， ，－ D. (－∞，－ ∪(1，+∞) ，－1)∪ ， － ，－
(三)与函数有关的问题 三 与函数有关的问题
解析: 解析
令y − 3x = b，则y = 32x + b， 2
由图形知,当直线 由图形知 当直线 距与截距。 距与截距。
x y + = 1相切时 有最大截 相切时, 与椭圆 16 25
y = 3x + b 2 2 ⇒ 169 x 2 + 96bx + 16b 2 − 400 = 0 x y 16 + 25 = 1
1.若方程 若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解 求常数 只有一个实数解,求常数 若方程 只有一个实数解 {k|k≥4或k<0} 或 k的取值范围 的取值范围