一、树及生成树的基本概念树是无向图的特殊情况，即对于一个N个节点的无向图，其中只有N-1条边，且图中任意两点间有且仅有一条路径，即图中不存在环，这样的图称为树，一般记为T。
树定义有以下几种表述：(1)、T连通、无圈、有n个结点，连通有n－1条边；(2)、T无回路，但不相邻的两个结点间联以一边，恰得一个圈；(3)、T连通，但去掉任意一边，T就不连通了（即在点集合相同的图中，树是含边数最少的连通图）；(4)、T的任意两个结点之间恰有一条初等链。
例如：已知有六个城市，它们之间要架设电话线，要求任意两个城市均可以互相通话，并且电话线的总长度最短。
若用六个点v1…v6代表这六个城市，在任意两个城市之间架设电话线，即在相应的两个点之间连一条边。
这样，六个城市的一个电话网就作成一个图。
任意两个城市之间均可以通话，这个图必须是连通图，且这个图必须是无圈的。
否则，从圈上任意去掉一条边，剩下的图仍然是六个城市的一个电话网。
图5-6是一个不含圈的连通图，代表了一个电话线网。
生成树（支撑树）定义：如果图G’是一棵包含G的所有顶点的树，则称G’是G的一个支撑树或生成树。
例如,图5-7b是图5-7a的一个支撑树。
定理：一个图G有生成树的条件是G是连通图。
证明:必要性显然；充分性:设图G是连通的，若G不含圈，则按照定义，G是一个树，从而G是自身的一个生成树。
若G含圈，则任取G的一个圈，从该圈中任意去掉一条边，得到图G的一生成子图G1。
若G1不含圈，则G1是G的一个生成树。
若G1仍然含圈，则任取G1的一个圈，再从圈中任意去掉一条边，得到图G的一生成子图G2。
依此类推，可以得到图G的一个生成子图G K，且不含圈，从而G K是一个生成树。
寻找连通图生成树的方法：破圈法：从图中任取一个圈，去掉一条边。
再对剩下的图重复以上步骤，直到不含圈时为止，这样就得到一个生成树。
取一个圈(v1,v2,v3,v1)，在一个圈中去掉边e3。
在剩下的图中，再取一个圈（v1,v2,v4,v3,v1），去掉边e4。
再从圈（v3,v4,v5,v3）中去掉边e6。
再从圈(v1,v2,v5,v4,v3,v1）中去掉边e7，这样，剩下的图不含圈，于是得到一个支撑树，如图所示。
避圈法：也称为生长法，从图中某一点开始生长边，逐步扩展成长为一棵树，每步选取与已入树的边不构成圈的那些边。
二、最小生成树概念：设G=(V,E)是无向连通带权图，即一个网络。
E中每条边(v,w)的权为c[v,w]。
所有生成树G’上各边权的总和最小的生成树称为G的最小生成树。
应用：如在设计通信网络时，用图的顶点表示城市，用边(v,w)的权c[v，w]表示建立城市v、w之间的通信线路所需的费用，则最小生成树就给出了建立通信网络最经济的方案。
性质：设G=(V,E)是连通带权图，U是V的真子集。
若(u,v)∈E，且u∈U，v∈V-U，且在所有这样的边中，(u,v)的权c[u，v]最小，那么一定存在G的一棵最小生成树，它以(u,v)为其中一条边。
这个性质也称为MST性质。
算法：经典方法有两种：kruskal、prim算法（贪心思想）：一次生成一条最短边。
【Prim算法】：算法思想：任意时刻的中间结果都是一棵树，每次花费最小的代价，用一条边把不在树中的结点加进来。
按结点来贪，因此适用于稠密图的处理.算法内容：①设置顶点集合V和边集E，它们的初始状态为空集。
②任意选取一个顶点A加入V中。
③重复以下过程直到V中已经包含原图的所有节点：1、选一条权值最小的边(u,v)，并使其满足u,v两节点只有一个在点集V中。
2、将两个节点中不在V的那个点加入集合V中，并将边(u,v)加入边集E中。
④所得的子图G’=(V,E)即为所求的最小生成树。
关键：找出当前最优得一条边,穷举每一条不在集合E中的边，找出符合条件且最优的边。
时间复杂度：O（V*E），即顶点数乘以边数。
代码：varn,i,j,k,min,sum:longint;a:array[1..1000,1..1000]of longint;b,d:array[1..1000]of longint;procedure prim;beginsum:=0;for i:=1 to n do d[i]:=a[1,i];for j:=2 to n dobeginmin:=maxlongint;for i:=1 to n doif (d[i]<min)and(d[i]<>0) thenbeginmin:=d[i]; k:=i;end;sum:=sum+d[k]; d[k]:=0;for i:=1 to n doif (a[k,i]<d[i])and(i<>k) then d[i]:=a[k,i];end;end;beginreadln(n);for i:=1 to n dofor j:=1 to n dobeginread(a[i,j]);if (i<>j) and (a[i,j]=0) then a[i,j]:=maxlongint;end;//初始化prim;writeln(sum);end.Prim算法：初始状态A包含任意一个顶点r，从r开始，每次都向A中添加一条连接树A和G=（V,A）中某个孤立顶点的轻边，直至生成树A包含了图中所有的顶点。
有效实现该算法的关键是设法较容易地选择一条轻边。
我们可以借助最小优先级队列。
图中的顶点可以分为两类，一类是在A中的，已经纳入最小生成树了，另一种是不在A 中的，记为B，对于这些顶点，我们需要保存它们与A中的某个顶点相连的边中的最小权值。
最小优先级队列保存的就是B（尚未纳入最小生成树）中的顶点以及它们与A中某个顶点相连的边中的最小权值。
每次队首出队，设新加入A的顶点为V，那么我们要修改V的邻接点中尚未在A中（在最小优先级队列）的且与A中顶点相连的边的最小权值（比较拗口）。
Prim+heapy优化：*优化：在选择权值最小的可行边时可以使用堆。
(nlogn) 堆优化的Prim算法适用于稀疏图，而不优化的Prim算法适用于稠密图。
代码：varn,i,j,k,sum:longint;a:array[0..1000,0..1000]of longint;b,d,heap,pos:array[0..10000]of longint;procedure swap(var i,j:longint);{交换整数i和j}//省略procedure heapify(p:longint);{向下调整堆的过程}var best:longint;beginbest:=p;//下面两个if是分别判断根和左、右孩子最短距离的大小if (p*2<=j-1) and (key[heap[p*2]]<key[heap[best]]) then best:=p*2;if (p*2+1<=j-1) and (key[heap[p*2+1]]<key[heap[best]]) then best:=p*2+1;if best<>p then//若根有所变动，即跟比左右孩子都大（最短距离）beginswap(pos[heap[p]],pos[heap[best]]);//互换节点heap[p]、heap[best]在堆的位置swap(heap[p],heap[best]);//互换堆中元素p、bestheapify(best);//继续调整互换后的元素bestend;end;procedure modify(id,new_d:longint);{判断new_d与d[id]大小，并修改key[id]大小}var p:longint;beginif (new_d<d[id]) thenbegin//修改d[id]:=new_d;//更新最短距离p:=pos[id];//结点id在堆中的位置while (p>1) and (key[heap[p]]<key[heap[p div 2]｛父｝]) do//向上调整beginswap(pos[heap[p]],pos[heap[p div 2]]);swap(heap[p],heap[p div 2]);p:=p div 2;//更上一层end;end;end;procedure extract（抽出）(var id:longint);{读取堆中最小元素的节点编号}beginid:=heap[1];//堆顶swap(pos[heap[1]],pos[heap[j]]);// 堆顶的元素和第j个元素换位置swap(heap[1],heap[j]);//把堆顶的元素扔到j后面去，heapify(1);//此时堆顶不一定是最小的~扔到下面去，把最小的搞上来。
end;procedure prim;begind[1]:=0;for j:=n downto 1 dobeginextract(k);sum:=sum+d[k];for i:=1 to n doif (pos[i]<j) then modify(i,a[k,i]);end;beginreadln(n);for i:=1 to n dofor j:=1 to n dobeginread(a[i,j]);if (i<>j) and (a[i,j]=0) then a[i,j]:=maxlongint;end;//初始化for i:=1 to n dobeginheap[i]:=i; pos[i]:=i; d[i]:=maxlongint;end;prim;writeln(sum);end.【Kruskal算法】算法内容：初始时把每个顶点看作一个集合①将所有边以长度为关键词从小到大排序。
②将每个顶点都加入一个集合中，即N个顶点共N个集合。
③设置边集E，初始状态为空。
④从小到大访问每条边，若边连接的两个顶点属于不同集合，则合并两个顶点所在的集合，并将该边加入到边集E中。
⑤所得的子图TG=(V,E)即为所求的最小生成树，其中顶点集V就是原图的所有顶点。
**关键：集合的合并。
我们可以采用路径压缩的算法，用树结构作为集合的结构，对于每个点只记录它的父亲，集合的代表元素即为树的根。
在判断两个节点是否属于同一集合时，递归查找节点所在树的根，同时压缩路径。
合并集合只需将集合B的根的父亲记为集合A 的根即可。
时间复杂度：O（eloge）x,j,tot,i,n:longint;l,a,b:array[1 ..10000] of longint;f:array[1 ..100] of longint;procedure qs(low,high:longint); //以每条边的长度排序；function find(x:longint):longint;//找集合的根结点、var tmp: longint;beginif f[x]=x then exit(x) else exit(find(f[x]));end;procedure union(u,v:longint); //合并子集varfu,fv:longint;beginfu:=find(u);fv:=find(v);f[fv]:=fu;end;procedure kruskal;varcnt,i,ans:longint;beginfor i:=1 to n do f[i]:=i;//初始子集，都是自己；cnt:=0; ans:=0;for i := 1 to tot doif (find(a)<>find(b)) then//判断是否属于同一子集beginunion(a,b);inc(ans); inc(cnt);if cnt=n-1 then break; //n个结点，连接n-1条边end;writeln(ans);end;begintot:= 0; readln(n);for i:=1 to n dofor j := 1 to n dobeginread(x);if (i<>j) thenbegininc(tot); a[tot]:= i; b[tot] := j; l[tot]:= x;end;end;qsort(1,tot);kruskal;end.1.Prim在稠密图中比Kruskal优，在稀疏图中比Kruskal劣。