2020中考数学线段最值问题之阿波罗尼斯圆(阿氏圆)【知识背景】阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里德齐名,被称为亚历山大时期数学三巨匠。

阿波罗尼斯对圆锥曲线有深刻而系统的研究,其主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是其研究成果之一，本文主要讲述阿波罗尼斯圆在线段最值中的应用，下文中阿波罗尼斯圆简称为“阿氏圆”。

【定 义】阿氏圆是指：平面上的一个动点P 到两个定点A ，B 的距离的比值等于k ，且k≠1的点P 的轨迹称之为阿氏圆。

即：)1(≠=k k PBPA，如下图所示：上图为用几何画板画出的动点P 的轨迹，分别是由图中红色和蓝色两部分组成的的圆，由于是静态文档的形式，无法展示动图，有兴趣的可以用几何画板试一试。

【几何证明】证明方法一：初中纯几何知识证明：阿氏圆在高中数学阶段可以建立直角坐标系，用解析几何的方式来确定其方程。

但在初中阶段，限于知识的局限性，我们可以采用纯几何的证明方式，在证明前需要先明白角平分线定理及其逆定理，请看下文： 知识点1：内角平分线定理及逆定理若AD 是∠BAC 的角平分线，则有：CDBDAC AB =。

即“两腰之比”等于“两底边之比”。

其逆定理也成立：即CDBDAC AB =，则有：AD 是∠BAC 的角平分线。

知识点2：外角平分线定理及其逆定理若AD 是△ABC 外角∠EAC 的角平分线，则有CDBDAC AB =。

即“两腰之比”等于“两底边之比”。

其逆定理也成立：即CDBDAC AB =，则有：AD 是外角∠EAC 的角平分线。

【阿氏圆的证明】有了上述两个知识储备后，我们开始着手证明阿氏圆。

①如上图，根据阿氏圆的定义： 当P 点位于图中P 点位置时有：k PB PA =，当P 点位于图中N 点位置时有：k NBNA=， 所以有：NBNAPB PA =，所以PN 是∠APB 的角平分线，∴∠1=∠2. 当P 点位于图中M 点位置时有：PBPAk MB MA ==， 所以有：MBMNPB PA =，所以PM 是∠EPA 的角平分线，∴∠3=∠4. 又∵∠1+∠2+∠3+∠4=180° ∴2∠1+2∠3=180° ∴∠1+∠3=90°故∠MPN=90°，所以动点P 是在以MN 为直线的圆上。

② 由上述过程，我们可以更进一步推导出阿氏圆的直径，设定点间距离AB=a ， ∵k MBMA=， ∴kMAMB =∵MB - MA = a ∴a MA kMA=- ∴.1kakMA -=同理，∵k NBNA= ∴kNANB =∵NA+NB=a ∴kNANA +=a∴1+=k akNA ∴直径|1|2112k akk ak k ak NA MA MN -=++-=+=。

证明方法二：高中解析几何建立直角坐标系，如下图所示以定直线AB 所在直线为x 轴，点A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，设AB=a ，则A(0,0), B(a,0)，设P(x,y)，则k PBPA=，即 k ya x y x =+-+2222)(，两边平方，整理得：02)1()1(2222222=+--+-a k x ak y k x k ，又k ≠1，配方得：22222222)1()1(-=+--k a k y k ak x由圆的方程可知：此方程表示是以)0,1(22-k ak 为圆心，|1|2-k ak 为半径的圆。

【实际应用】阿氏圆常用于解决形如：)1(≠⋅+k PB k PA 类线段最值问题：其中P 是动点，A ，B 是定点，且动点P 在阿氏圆上运动(这和我上一讲中的P 点在直线上动产生的胡不归有本质区别)。

先看如下例题，然后我们总结出更加一般的解题步骤，使这种题变成套路题，直接秒杀。

【例题1】如下图1，已知圆O 的半径r=4，A(6,0)，B 是圆上一动，在x 轴上取一点M ，使得△OBM ∽△OAB 。

(1)求M 点的坐标并求出相似比；(2)在(1)的条件下，若C 点的坐标为(0,5)，求AB BC 32+的最小值。

分析：(1)△OBM 与△OAB 中有公共角∠BOA ，此题由于B 点动导致两个三角形中的其他角都在动，故从角角相等去判定相似有难度，但题目中给出的已知条件都是边，所以从边对应成比例及夹角相等去判定会简单一些。

在x 轴上选择点M ，使得OBOMOA OB =,且∠BOA 是公共角，所以此时△OBM ∽△OAB 。

∴OB ²=OA ×OM (即构造共边共角模型：共边的平方等于从共顶点出发两线段的乘积) ∴4²=6×OM ，∴OM=38，∴M 坐标为)0,38(，此时相似比为：32===AB BM OB OM OA OB . (2) 由(1)中相似知：32=AB BM ，∴BM AB =32∴BM BC AB BC +=+32,由两点之间线段最短可知： 317)38(52222=+=+==+OM OC CM BM BC 。

∴AB BC 32+的最小值为317。

【方法总结】从上面例1中我们可以得到)1(≠⋅+k PB k PA 类问题更加一般性的解题步骤：运用：动点在圆上运动，两线段(带系数)相加求最小值。

形如：AB+k ×BP 的最小值 (k 为系数)，原理：构造共边共角相似，转移带系数的边，利用两点间线段最短求最小值， 解题步骤：Step1: 计算出动点所在圆的半径r ；Step2：在题中寻找：k r=定边(相似比)，若找不到，则需要将系数k 提到括号外边再寻找相似比；比如PB PA 53+，找不到相似比为3:5时，需要经过如下变形： )35(5353PB PA PB PA +=+,对带系数的线段PA 去寻找相似比为5:3。

Step3：利用共边共角模型，在第2步:定边所在的三角形中构造共边共角相似模型，此时定边与动点构成一个三角形(此步非常重要，是核心)；Step4：利用相似转移带系数的边； Step5：由两点间线段最短求最小值。

【例题2】已知如下图1所示，圆O 的半径r=4，A(6,0)，C(0,5)，B 为圆上一动点。

求BC AB 54+的最小值。

分析：按照上述的解题步骤，此题变成了套路题： Step1：计算出动点所在圆的半径，题目直接已知r=4；Step2：在题中寻找：54=定边r ，此题中的定边有:OA=6，OC=5，显然选择定边为OC ； Step3：在OC 边所在的三角形中构造共边共角相似模型，如上图2： 在y 轴上选取点M ，并使得：OBOMOC OB =，且有∠COB 是公共角， ∴△OMB ∽△OBC ，由共边共角模型知道：OM OC OB ⋅=2(共边的平方等于从共顶点出发两条线段的乘积)，∴16=5·OM ，∴OM=516。

Step4：利用相似转移带系数的边； 此时由构造出的△OMB ∽△OBC 可知：54==OC OB BC BM ，∴BC BM 54=。

Step5：由两点间线段最短求最小值。

∴BC AB 54+=BM AB +,由两点之间线段最短可知，其最小值为AM ： BM AB +.534)516(62222=+=+==OM AO AM【例题3】如下图1，已知B(12,0)，A(0,12)，D(10,0)，C 为OA 的中点，P 为圆O 上一动点，求PD PC 21+的最小值。

分析：按照上述的解题步骤，此题变成了套路题：Step1：计算出动点所在圆的半径，题目直接已知r=OB=12；Step2：在题中寻找：21=定边r ，此题中的定边有:OA=OB=12，OC=AC=6，显然没有21=定边r ，所以必须要提取21出来，∴)2(2121PD PC PD PC +=+，再去寻找：12=定边r ，显然OC=6，故应选择定边OC. Step3：在OC 边所在的三角形中构造共边共角相似模型，如上图2：在y 轴上选取点M ，并使得：OPOCOM OP =，且有∠MOP 是公共角， ∴△OCP ∽△OPM ，由共边共角模型知道：OM OC OP ⋅=2(共边的平方等于从共顶点出发两条线段的乘积)，∴12²=6·OM ，∴OM=24。

Step4：利用相似转移带系数的边； 此时由构造出的△OCP ∽△OPM 可知：12===PC PM OP OM OC OP ，∴PC PM 2=。

Step5：由两点间线段最短求最小值。

∴)(21)2(2121PD PM PD PC PD PC +=+=+,由两点之间线段最短可知，其最小值为： .1326212121)(2122=⨯=+==+OM OD MD PD PM【课后演练】1、如图，直角坐标系中，AB=5，AO=3，圆O 的半径为2，P 为圆O 上一个动点， (1) 求PB PA 21+的最小值是__________. (2) 求PB PA +32的最小值是_________.【答案】(1)10 (2)3104 2、如图，A(-1,0)，B(1,0)，C(-1,1)， D (1,3)，P 点在以AB 为直径的圆上，则PD PC 2 的最小值是__________。

【答案】2343、如图，在扇形COD 中，OC=4，OA=2，OB=3，∠COD=120°，P 是弧BC 上一动点，不与D 、C 重合，则2PA+PB 的最小值是_______。

【答案】974、如图，等边△ABC 的边长为6，内切圆记为圆O ，P 是圆O 上一动点，则2PC+PB 的最小值为_______。

【答案】735、如图，在等边△ABC 中，AB=12，圆C 的半径为6，P 是圆上一动点，连接AP ，BP ，则BP AP 21 的最小值是________。

【答案】1336、如图1，抛物线)0(2)2(2≠+++=a a x a ax y 与x 轴交于A(4,0)，与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点P(m ，0)，过点P 作x 轴垂线交AB 于N ，交抛物线于点M 。

(1) 求a 的值；(2) 若PN:MN=1:3，求m 的值；(3) 如图(2)，在(2)的条件下，设动点P 对应的位置是P 1，将线段OP 1绕点O 逆时钟旋转得到OP 2，旋转角度为α，且0＜α＜90°，连接AP 2、BP 2，求2223BP AP +的最小值。

【答案】(1) 223212++-=x x y (2) 3=m(3) 21457、如图1，在平面直角坐标系中，点M 的坐标为（3，0），以点M 为圆心，5为半径的圆与坐标轴分别交于点A 、B 、C 、D ．（1）△AOD 与△COB 相似吗？为什么？（2）如图2，弦DE 交x 轴于点P ，且BP ：DP=3：2，求tan△EDA ；（3）如图3，过点D 作△M 的切线，交x 轴于点Q ．点G 是△M 上的动点，问比值 GQGO 是否变化？若不变，请求出比值；若变化，请说明理由．【答案】(1)相似 (2)311(3)不变，其值为53(本质为阿氏圆，QO 为定直线，G 为动点53GQ GO)。