P 信息技术应用 140
引例 :已知点P(2, 0),Q(8, 0), 点M与点P的距离是它与点Q的 距离的 1 ,用《几何画板》探求M的轨迹,并给出轨迹方程.
5
1、几何画板演示
结论1 : M的轨迹是一个圆.
2、求动点轨迹方程的一般步骤
(1)建系 (2)设点, 动点坐标一般设为( x, y) (3)列式 (4)化简
M
上.
2
m 1,圆心在M2的右边, 0 m 1,圆心在M1的左边
3、当m 1时, 轨迹为线段的垂直平分线 M
M1
M2
三、阿波罗尼斯圆的方程推导
追本溯源：必修二P144复习参考题B组第2题
已知点M与两个定点M1
,
M
距离的比是一个
2
正数m ,求点M的轨迹方程, 并说明轨迹是什么图
形(m 1时).
《圆锥曲线论》是一部经典巨作,书中蕴含坐标思想, 这给后世坐标的建立具有很大的启发 。
二、阿波罗尼斯圆的定义
平面内到两个定点的距离之比为常数m(m 0且m 1) 的点的轨迹是 圆.这个圆叫做阿波罗尼斯圆.
M
简称为阿氏圆.
温馨提示 :
1、m 0且m 1
M1
M2
2、圆心在两定点所在的直线上,
且不在线段M1
(去掉与x轴的交点)
所以点C到AB的距离的最大值为半径2 2
SABC
最大值为
1 2
2
2
2=2
2. 巧解高考难题
小结 :已知两定点和比值可以求阿氏圆的方程
例2、(2013年江苏高考)在平面直角坐标系xOy中, 点A(0, 3),
圆C的半径为1,圆心C在直线l：y＝2x 4上, 若圆C上存
在点M ,使得MA＝2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.
分析：M 既在圆C 上, 也在以A, O为定点的阿氏圆上
转化为两圆有公共点 转化为圆心距与半径的关系
解 :由已知条件,圆心C的坐标为(a, 2a 4). y
圆C的方程为( x a)2 ( y 2a 4)2 1A
l
因为MA 2MO,可设M ( x, y),
则 x2 ( y 3)2 2 x2 y2 整理得x2 ( y 1)2 4,设为圆D
(1)建系
以线段M1
M2所在直线为x轴,
线段M1
M
的中垂线
2
为y轴建立平面直角坐标系, 如图所示.
设M1 M 2＝2a .
y
M
则M1(a, 0), M2(a, 0)
M1 O M 2 x
三、阿波罗尼斯圆的方程推导
yM
(2)设点 设M( x, y),
M1
a O
(3)列式
由 MM1 m 得
( x a)2 y2 m
一、问题引入
追本溯源：必修二P144复习参考题B组第2题
已知点M
与两个定点M
1
,
M
距离的比是一个
2
正数m ,求点M的轨迹方程, 并说明轨迹是什么图
形(考虑m 1和m 1两种情形).
当m 1时, 表示线段M1M2的垂直平分线.
下面我们只考虑m 1时的情形
为了解决这个问题 ,我们先看一种具体情况.
)2
表示圆心为(
m m
2 2
1 1
a, 0), 半径为
2ma m2 1
的圆.
问题解决
已知点M
与两个定点M1
,
M
距离的比是一个
2
正数m ,求点M的轨迹方程, 并说明轨迹是什么图
形(考虑m 1和m 1两种情形).
(以线段M
1
M
2所在直线.为x轴,
线段M1
M
的中垂线
2
为y轴建立平面直角坐标系, 设M1 M 2＝2a .)
分析：圆C是以A、B为定点的阿氏圆
Py
点B在x轴上, 且点A的右边 当点P运动到O点时,OA 2
4 2
CA O B x
OB 4
小结 :已知一定点、阿氏圆和比值可以求另一定点
作为一个填空题，我认为这样的解决方案是最快的， 下面我给出一个一般的解答过程
例3、已知A(2, 0), P为圆C : ( x 4)2 y2 =16上任意一 点,若点B满足2 PA ＝ PB ,则B的坐标为_B_(_4_,0_)_.
m 1,圆心在右边
0 m 1,圆心在左边
二、阿波罗尼斯圆的定义
平面内到两个定点的距离之比为常数m(m 0且m 1)
的点的轨迹是 圆.这个圆叫做阿波罗尼斯圆.
简称为阿氏圆.
M
人物介绍：
M1
M2
人物介绍
阿波罗尼奥斯(约公元前262 190年), 古希腊著名数学家 , 与欧几里得、阿基米 德齐名.他的著作《圆锥曲线论》是古代世 界光辉的科学成果,它将圆锥曲线的性质网 罗殆尽, 几乎使后人没有插足的余地, 阿波 罗尼斯圆是他论著中的一个著名问题,也是 其研究成果之一。
MM 2
( x a)2 y2
(4)化简 ( x a)2 y2 m2 ( x a)2 m2 y2
M2
ax
即(m2 1)( x2 y2 ) 2a(m2 1)x (m2 1)a2 0
x2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y2
2a(m2 1) (m2 1)
x
a2
0
(x
m2 m2
1 a)2 1
y2
(
2ma m2 1
(1)当m
1时,
轨迹方程：x
0,
表示线段M1
M
的中垂线.
2
(2)当m 1时,
轨迹方程：( x
m2 m2
1 1
a)2
y2
(
2ma m2 1
)2
表示以(
m m
2 2
1 a, 0)为圆心,以 1
2ma m2 1
为半径的圆.
四、阿波罗尼斯圆的应用
R 2am
例1(2008江苏卷13)若AB 2, AC 2BC,
P 信息技术应用 140
引例 :已知点P(2, 0),Q(8, 0), 点M与点P的距离是它与点Q的
距离的 1 ,用《几何画板》探求M的轨迹,并给出轨迹方程. 5
几何画 板演示
改变比值
结论1 : M的轨迹是一个圆.
M的轨迹方程为 : ( x 7)2 y2 (5)2
4
4
几何画 板演示
结论2 : (1)M的轨迹是一个圆. (2)圆心在线段的延长线上.
m2 1
则SABC最大值是__2__2__.
分析：C点在以A、B为定点的阿氏圆上
y
C
解 : 如图建系A(1, 0), B(1, 0),设C( x, y)
( x 1)2 y2 2( x 1)2 2 y2 A O B
x
化简得 ( x 3)2 y2 8( y 0)
于是C的轨迹是以(3, 0)为圆心, 2 2为半径的圆
O
C
D
x
点M既在圆C上又在圆D上,即圆C与圆D有公共点。
1 CD 3 1 a2 (2a 3)2 3
0 a 12 , 从而a的取值范围是[0, 12].
5
5
例3、已知A(2, 0), P为圆C : ( x 4)2 y2 =16上任意一 点,若点B满足2 PA ＝ PB ,则B的坐标为_B_(_4_,0_)_.