面ABCD，PA=AD，M为AB的中点，求证：平面PMC⊥平 面PCD.
P
F
E
D
C
A
M
B
探究： 已知AB 面BCD, BC CD
请问哪些平面互相垂直的,为什么?
AB 面BCD 面ABC 面BCD A AB 面BCD 面ABD 面BCD
CD 面ABC 面ABC 面ACD
C B
例3 在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC， AB⊥BC，PA=AB，D为PB的中点，求证：AD⊥PC.
P
D
C
A
B
探究
如图，直四棱柱 ABCD ABCD（侧棱与底面垂
直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形 ABCD 满足
什么条件时，AC BD ？
A
D
B A
C D
A
B
O
D
α
C
思考1
如图，∠BAD为斜线AB与平面α所成的角，AC为 平面α内的一条直线，那么∠BAD与∠BAC的大小关 系如何？
B
解：作BOAD于O，
BEAC于E，
A
α
oD EC
则 BD<BE sinBAD<sinBAC
∠BAD 〈∠BAC
平面与平面垂直的判定
概念
直线上的一点将直线分割成两部分，每一部 分都叫做射线. 平面上的一条直线将平面分割成 两部分，每一部分叫半平面.
l
a

a l
面面垂直线面垂直
结论
如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面 内一点且垂直于另一个平面的直线，必在这个平 面内.
α
A
B β
例1.如图，已知α⊥β，a⊥β，a，试判 断直线l与平面α的位置关系，并说明理由.
α
b
a
l
β
A
例2 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，AB=2，
l
AB

l


B

A
探究 如何用平面角来表示二面角的大小？
β
BO lA
二面角-l-
α
β B
l O
A
α
二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个 面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线 所成的角叫做二面角的平面角.
∠ A O B 即 为二面角α-AB-β的 平面角
PA 面PAC AC 面PAC
BC 面PAC
BC 面PBC


面PAC

面PBC

例2 在四面体ABCD中，已知AC⊥BD,∠ BAC= ∠CAD=45°，∠BAD=60°，求证：平面ABC⊥平面 ACD.
D
C
B
E
A
例3 如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA⊥底
BC 2,侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面 ABCD.
（1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；
（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角. P
A
D
E
B
C
对于三个平面、、，如果，，β，
= l ，那么直线l与平面 的位置关系如何？为什么？
β 解答：在内分别
l
作平面的垂线a、b，
出来.
o
B
l
第2课时
平面与平面垂直的判定
平面与平面垂直的判定
定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面
角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
记为
β
a
A
b
α

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的 垂线，则这两个平面垂直．
β
a
a 面
a
A α
线线垂直
线面垂直
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线， 那么这两个平面互相垂直．
α
l β
1.黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板 上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？
α
β
两个平面垂直的性质
性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂 直于交线的直线与另一个平面垂直.
β
a l
A α

I
a

注意：二面角的平面角必须满足：
（1）角的顶点在棱上. （2）角的两边分别在两个面内. （3）角的边都要垂直于二面角的棱.
0度角
二面角的取值范围
00,180 0 或 [0， ]
β
l
α
00~1800
180度角
例1.在正方体中，找出二面角C1-AB-C的平 面角，并指出大小.
D1
C1
B1 A1
l
l
b
l
ab
相交
ab
平行
a
异面
思考3
如果直线a，b都垂直于平面α，那么a与b 一定平行吗？
a
b

直线与平面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
a
b

a b




a
//
b
平面与平面垂直的性质
复习1 两个平面相互垂直
三个平面两两垂直
α
l β
α
β
l γ
复习2 两个平面垂直的判定
直线、平面垂直的判定及其性质
复习1
直线和平面的位置关系
直线在平面内
直线与平面相交
直线与平面平行
大桥的桥柱与水面的位置关系 线面垂直
直线和平面垂直
思考1 旗杆与地面中的直线的位置关系如何？
思考2 将一本书打开直立在桌面上， 观察书脊
（想象成一条直线）与桌面的位置关系呈什么 状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置 关系如何？
射线 射线
半平面 半平面
概念
A
从一点出发的两条射线，
构成平面角.
O
B
记作AOB
同样,从一条直线出发的 两个半平面所组成的图形叫 做二面角.这条直线叫做二面 角的棱，这两个半平面叫做 二面角的面.

m

记为：二面角-m-
二面角的图示
二面角的记号
（1）以直线 l 为棱，以, （2）以直线AB为棱，以 , 为半平面的二面角记为： 为半平面的二面角记为：
B
D
C
直线与平面垂直的性质
复习
a
直线与平面垂直的定义是什么？
直线与平面垂直的判定定理是什么？
a
α
思考1
如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1，BB1， CC1，DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如何？它们 彼此之间具有什么位置关系？
C1 B1
D1 A1
C
D
B
A
思考2
如果直线a，b都垂直于同一条直线l，那么直 线a，b的位置关系如何？
α
则a l,b l, a与
b必相交.
a
b

所以l⊥
B
C
答：底面四边形ABCD对角线相互垂直．
直线与平面垂直的判定定理可简述为
“线线垂直，则线面垂直”
思想方法 通过直线间的垂直，推证直线与平面垂
直，即将直线与平面的垂直关系（空间问题） 转化为直线间的垂直关系（平面问题）.
问题提出
前面讨论了直线与平面垂直的问题，那么直 线与平面不垂直时情况怎么样呢？
面面垂直
例1 如图，⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径， PA⊥α，C为圆周上不同于A、B的任意一点，求证： 平面PAC⊥平面PBC.
P
C
A
O
B
证明: Q PA 面, BC 面 PA BC 又 AB为圆的直径 AC BC
PA BC AC BC
PAI AC A
直线与平面所成的角
线面角相关概念
平面的斜线
平面的垂线
斜足A
P
l
垂足B
αA B
斜线PA在平面内的射影
斜线PA与平面所成的角为PAB
1.斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的
射影所成的角
(0,90 0 )
2.平面的垂线与平面所成的角为直角
3. 一条直线与平面平行或在平面内，则这 条直线与平面所成的角的00角
求证：AC⊥BD'
D′
C′
A′
B′
D A
C B
证明：连接BD
因为正方体ABCD-A'B'C'D'
所以DD‘⊥平面ABCD
又因为 AC 平面ABCD 所以AC DD'
因为AC、BD 为对角线 所以AC⊥BD 因为DD'∩BD=D 所以AC⊥平面D'DB 所以AC⊥BD'
D′
A′
D A
C′ B′
那么这条直线是否与这个平面垂直？
l
α
线面垂直的判定
判定定理 一条直线与一个平面内的两条 相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
la
l b a


l


b

a b A
作用：
判定直线与平面垂直．
l
b
Aa
思想：
直线与平面垂直
直线与直线垂直
例2 已知：正方体中，AC是面对角线，BD'是 与AC 异面的体对角线.
பைடு நூலகம்
N
M
D C
A
B
端点
例2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B1AC-B的正切值.
C1
D1
B1
A1
C B
D
O