5. 概率分配函数的正交和
定义4 :设M1和M2是两个概率分配函数，则其正交 和M= M1 ⊕M2为 M(Φ)=0 M(A)=K－1×∑M1(x)×M2(y)



x∩y=A
其中: K=1-∑M1(x)×M2(y)=∑M1(x)×M2(y)
x∩y=Φ x∩y≠Φ

如果K≠0,则正交和M也是一个概率分配函数；如果 K=0，则不存在正交和M，称M1 与M2矛盾。
A∩B≠Φ
4. 信任函数与似然函数的关系
Pl（A）≥Bel（A）
证明： ∵ Bel（A）十Bel（￢A）＝ΣM（B）＋ΣM（C）
B⊆A C⊆￢A
≤ΣM（E）＝1
E⊆D
∴Pl（A）－Bel（A）＝1－Bel（￢A）一Bel（A） ＝1－（Bel（￢A）＋Bel（A）） ≥0 ∴ Pl（A）≥Bel（A）
证据理论
证据理论是由德普斯特（A.P.Dempster）首先提出，并由沙佛 （G．Shafer）进一步发展起来的一种处理不确定性的理论，因此又称为 D－S理论。 证据理论与Bayes理论区别： Bayes理论： 需要有统一的识别框架、完整的先验概率和条件概率知识， 只能将概率 分派函数指定给完备的互不包含的假设， 证据理论： 用先验概率分派函数去获得后验的证据区间，证据区间量化了命题的可 信程度。可将证据分派给假设或命题， 提供了一定程度的不确定性，即 证据既可指定给互不相容的命题，也可指定给相互重叠、非互不相容的 命题。 证据理论满足比概率论更弱的公理系统，当概率值已知时，证据理论就 变成了概率论。


如果有n条知识都支持同一结论H，则用公式
M＝M1⊕M2⊕…⊕Mn 对M1，M2，…，Mn求其正交和，从而得到H的概率分配函 数M。
（2）求出Bel（H），Pl（H）及f（H）
其中：
n

Bel（H）＝ΣM（{hi}）
i=1


Pl（H）＝1－Bel（￢H）
f (H）＝Bel(H)＋|H| ×［Pl(H)－Bel(H)］ |D|
定义5 ：设M1,M2,……，Mn是n个概率分配函数， 则其正交和M＝M1⊕M2⊕……⊕Mn为 M(Φ)=0 M(A)=K－1×∑ ∏ Mi(Ai)



∩Ai =A
1<i<n

其中:
K= ∑ ∏ Mi(Ai)
∩Ai≠Φ 1<i<n
例：设D＝{黑，白}，且
M1({黑},{白},{黑,白},Φ)=(0.3,0.5,0.2,0) M2({黑},{白},{黑,白},Φ)=(0.6,0.3,0.1,0)
i＝1
3. 证据不确定性的表示
不确定性证据E的确定性用CER（E）表示。
对于初始证据，其确定性一般由用户给出； 对于用前面推理所得结论作为当前推理的证 据，其确定性由推理得到。CER（E）的取 值范围为［0，1］，即
0≤CER（E）≤1
4. 组合证据不确定性的算法


当组合证据是多个证据的合取时，即
二． 一个具体的不确定性推理模型

信任函数Bel（A）和似然函数Pl（A）分别 表示对命题A信任程度的下限与上限， 两元 组（Bel（A），Pl（A））表示证据的不确定 性，不确定性知识用Bel和Pl分别表示规则强 度的下限与上限。 在此表示的基础上建立相 应的不确定性推理模型。 由于信任函数与似 然函数都是在概率分配函数的基础上定义的， 因而随着概率分配函数的定义不同，将会产 生不同的应用模型。
i=1
M2（D）＋M1（D）x M2（{si}）］
定义6 :命题A的类概率函数为


f（A）=Bel（A）＋|D| ×［Pl（A）一Bel（A）］ 其中，｜A丨和｜D｜分别是A及D中元素的个数。 f（A）具有如下性质： （1）Σf（{si}）＝1
i＝1 n
|A|

（2）对任何A⊆D，有 Bel（A）≤f（A）≤Pl（A） f（￢A）＝1 - f（A） 由以上性质可得到如下推论： （1）f（Φ）=0 （2）f（D）＝1 （3）对任何A⊆D，有 0≤f（A）≤1
2. 知识不确定性的表示

在该模型中，不确定性知识用如下形式的产生式规则表示： IF E THEN H＝{h1,h2,…,hn} CF＝{c1，c2，…，Cn} 其中： （1）E为前提条件，它既可以是简单条件，也可以是用 AND或OR连接起来的复合条件。 （2）H是结论,它用样本空间中的子集表示，h1,h2，…, hn 是该子集中的元素。 （3）CF是可信度因子，用集合形式表示，其中ci用来指出 hi（i＝1，2，…，n）的可信度，ci与hi一一对应。Ci 应满足如下条件： ci≥0 i＝1,2,…，n Σci≤1


由于Bel（A）表示对A为真的信任程度，Pl（A）表示对A为非假的信任程度，因 此可分别称Bel（A）和Pl(A）为对A信任程度的下限与上限，记为 A（Bel（A）， Pl（A）） 0 1 （1，1）—A为真。 Bel Pl （0，0）—A为假。 确知 未知 确知 （0，1）—对A一无所知，单位元。 为真 为假 Pl(A)－Bel(A) —对A不知道的程度。 下面用例子进一步说明下限与上限的意义： A（0.25，1）：由于Bel（A）＝0.25，说明对A为真有一定程度的信任，信任度 为0.25；另外，由于Bel（￢A）＝1－Pl（A）＝0，说明对￢A不信任。所以A （0.25，1）表示对A为真有0.25的信任度。 A（0，0．85）：由于Bel（A）＝0，而Bel（￢A）＝1一Pl（A）＝1－0.85＝ 0.15，所以A（0，0.85）表示对A为假有一定程度的信任，信任度为0.15。 A（0.25，0.85）：由于Bel（A）＝0.25，说明对A为真有0.25的信任度；由于 Bel（￢A）＝1－0.85＝0.15，说明对A为假有0.15的信任度。所以A（0.25， 0.85）表示对A为真的信任度比对A为假的信任度稍高一些。
2. 信任函数
定义2 :命题的信任函数Bel：2D→［0，1］，且 Bel(A）＝ΣM（B）对所有的A⊆D
B⊆A
其中2D表示D的所有子集。 Bel函数又称为下限函数，Bel（A）表示对命题A 为真的信任程度。 由信任函数及概率分配函数的定义推出： Bel（Φ）＝M（Φ）＝0 Bel（D）＝ΣM（B）＝1
E＝E1 AND E2 AND … AND En
则E的确定性CER（E）为：
CER（E）＝min{CER（El），CER（E2）， …，CER（En）}

当组合证据是多个证据的析取时，即
E＝El OR E2 OR … OR En
则E的确定性CER（E）为
CER（E）＝max{CER（El），CER（E2）， …,CER(En)}
1. 概率分配函数
设D为样本空间，领域内的命题都用D的 子集表示，则概率分配函数定义如下： 定义1： 设函数M：2D→［0，1］，且满足 M（Φ）＝0 ΣM（A）＝1
A⊆D
则称M是2D上的概率分配函数，M（A）称为 A的基本概率数。
说明 ： 1. 设样本空间D中有n个元素，则D中子集的个数为 2n个，定义中的2D就是表示这些子集的。 2. 概率分配函数的作用是把D的任意一个子集A都映 射为［0，1］上的一个数M（A）。当A⊂D时，M （A）表示对相应命题的精确信任度。实际上就是 对D的各个子集进行信任分配，M（A）表示分配 给A的那一部分。当A由多个元素组成时，M(A)不 包括对A的子集的精确信任度，而且也不知道该对 它如何进行分配。当A＝D时，M（A）是对D的各 子集进行信任分配后剩下的部分，它表示不知道 该对这部分如何进行分配。 定义：若A⊆D则M(A)≠0，称A为M的一个焦元。 3. 概率分配函数不是概率。
D-S理论
一．
基本理论 一个具体的不确定性推理模型
举例 小结
二．
三．
四．
一．基本理论
设D是变量x所有可能取值的集合，且D中 的元素是互斥的，在任一时刻x都取且只能取 D中的某一个元素为值，则称D为x的样本空 间，也称D为辨别框 。在证据理论中，D的 任何一个子集A都对应于一个关于x的命题， 称该命题为“x的值在A中”。 引入三个函数：概率分配函数，信任函数 及似然函数等概念。
由该概率分配函数的定义，可把概率分配函
数M1与M2的正交和简化为 M（{si}）＝K-1×［Ml（{si}）×M2（{si}）＋
M1（{si}）×M2（D）＋M1（D）×M2（{si}）］ 其中，K可由下式计算： K＝M1（D）×M2（D）+
n
Σ［M1（{si}）×M2（{si}）+M1（{si}）×
1. 概率分配函数与类概率函数
样本空间D＝{s1，s2,…,sn}上的概率分配函数按如 下要求定义： （1）M（{si}）≥0 对任何si∈D


（2）ΣM（{si}）≤1
i＝l
n
（3）M（D）＝1-ΣM（{si}）
i=1
n
（4）当A⊂D且|A|＞1或|A|＝0时，M（A）=0 其中，|A|表示命题A对应集合中元素的个数。
B⊆D
3. 似然函数
定义3: 似然函数Pl：2D→［0，1］，且 Pl（A）＝1一Bel（￢A） 其中A⊆D 似然函数的含义：由于Bel(A)表示对A为 真的信任程度，所以Bel(￢A)就表示对非A为 真，即A为假的信任程度，由此可推出Pl（A） 表示对A为非假的信任程度。 似然函数又称为不可驳斥函数或上限函数。
＝Bel(H)＋ |D| ×M（D）
|H|

（3）按如下公式求出H的确定性CER（H）
CER（H）＝MD（H/E’）×f（H）
其中
MD（H/E’）是知识的前提条件与相应证据E’的匹配度，定义为：