勾股定理教学设计
一、教学目标
1、知识与技能目标：能认识并说出勾股定理，并能够用勾股定理解决生活中的一些简单问题。

2、过程与方法目标：
让学生体验数学定理的发现、验证及应用的过程，较多地了解数学史，使学生由单纯接受知识状态变为探索发现的过程，体会数形结合思想。

3、情感与态度目标：
在探索勾股定理过程中培养合作交流的习惯，让学生充分地感受数学的美，通过解决问题增强自信，激发学习数学的兴趣。

教学重点：勾股定理的探索过程
教学难点：由一般的直角三角形组图推证勾股定理
教具准备：多媒体，投影片、硬纸片、剪刀、刻度尺、图钉
二、教学方法
让学生自己寻找勾股定理史料，教师提出问题、设计问题，让学生探索，让学生剖析，思想方法让学生总结，教师的作用在于组织、点拨、引导，促进学生自主探索，积极思考，大胆想象，总结规律，让学生真正成为学习的主体。

三、教学过程
（一）创设情境，引入课题
多媒体展示：伦敦克里斯蒂拍卖行贴出了如下的一个拍卖广告：如图所示，有面积560英亩的土地待拍卖，土地分成三个正方形，面积分别为74英亩，116英亩，370英亩，这三个正方形恰好围着一个池塘，如果有人计算出池塘准确面积，则池塘不计入土地价钱白白奉送，英国数学家巴尔教授曾巧妙解答了这个问题，你能解决吗？快来学习吧——“勾股定理”。

教师：再请同学们欣赏八年级（下）数学封面上的四个全等直角三角形围成正方形这一彩图，这是什么标志吗？这是赵爽弦图，也是2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽。

（利用多媒体展示一组人物头像）：他们分别是：赵爽、商高（我国数学家）、毕达哥拉斯（古希腊数学家）、欧几里德（几何大师）、加菲而德（美国第二十任总统），他们有一个共同的特点，都曾经研究过勾股定理，今天我们也来研究勾股定理。

（设计意图：让学生了解数学史料，激发勾股定理的神秘性，调动学生探索的兴趣）（二）动手操作，探索发现
课前让每个同学准备好一个直角三角形纸片（可特殊、可一般）。

教师：请同学们各自测量手中直角三角形的三边长，然后计算两直角边的平方和斜边的平方，再比较他们的大小。

学生们根据自己的操作，很快得到三边长的不同数据：3，4，5；6，8，10；5，12，13；
7，24，25等等。

根据以上数据，容易得到结论：两直角边的平方和等于斜边的平方。

教师：对于任意的直角三角形都有两直角边的平方和等于斜边的平方吗？（设计意图：通过学生动手操作，培养动手能力和积极探索问题的能力，自然地引出本节的探索目标。

）（三）合作学习，实验探究
1、引出探索方向：
教师引领：我们如何研究直角三角形三边数量关系呢？考虑到古人往往是通过测量长度和面积来发现几何知识，这一历史背影，以上我们已用过测量长度的方法，启发我们能否用面积方法来发现直角三角形三边之间的特殊关系呢？考虑到正方形的边长平方是面积这一事实，从而把探索直角三角形的三边关系问题转化为探究的直角三角形三边向形外作三个正方形面积之间的关系问题。

2、同学们合作拼图探究活动：
（1）从特殊观察入手
从特殊情形看问题是研究数学有效方法，等腰直角三角形是一种特殊的直角三角形，我们老师运用图片，放出课本中观察图（如图1），让学生们各拿出一张稍硬的纸片并在纸上作一个等腰直角三角形ABC，并分别为三角形三边向外作三个正方形，请同学们将①，②，③，④剪下，看一看能拼成什么图形，作出猜想，同学们很容易拼出一个与正方形ABDE大小一样的正方形，如图2所示。

教师巡视指点，请每小组同学讨论后，各推选一名代表谈一谈自己的看法：由拼图很容易看出两条直角边为边构造而成的正方形面积之和恰好与斜边构成正方形面积相等，如果取BC长为a，AC长为b，a=b，AB长为C的话，两小正方形面积之和为a2+b2，而大正方形的面积为斜边C的平方C2，根据操作交流很快得到结论：a2+b2=c2 D
图1 图2
(设计意图：通过剪纸拼图活动，让学生从感官上认识、猜想三个面积之间关系，从而验证了两直角边的平方和等于斜边的平方这种活动能增加研究的趣味性，体现了“在实践中
学习”的思想，也为我们研究一般直角三角形利用正方形面积法验证勾股定理作出了铺垫。

）
（2）质疑，从特殊到一般性
教师引导学生提出疑问：这种直角三角形的三边的平方关系仅存在于等腰直角三角形中吗？对于非等腰的直角三角形上述关系还是否成立。

例如随意请同学们在硬纸片上画两直角边不等的直角形，（如图3），三角形ABC ，再以AC 为对角线在形外画一个与三角形ABC 全等的直角三角形CDA ，刚好构造了矩形ABCD ，其中AB ＞BC 。

让学生沿着以AC 为对角线的矩形剪下，先用大头钉把矩形ABCD 的A 钉在一张大白纸上，把矩形ABCD 绕A 点顺时针旋转90°，得到矩形AEFG ，注意要求学生先画好起始图纸，标清字母，以及操作规范性和准确性，如是得到如图3的图形。

然后在图形中用大头钉钉住F 点，以F 点为中心，沿顺时针旋转90°得图4，再在图4中又以I 点为旋转中心，顺时针旋转90°得到如图5。

最后我们用粗黑体线画图形AFIC 及内部相关线段。

此时教师进一步提问质疑四边形AFIC 是否是正方形？它的面积可由几个基本图形组成？如果AB=a,BC=b,AC=c 时，你能否求这四边形AFIC 的面积？于是学生合作展开讨论，充分交流，思维的好时机到了，学生思维的闪光点正在此时激发，求正方形AFIC 的面积的各种方法都涌现出来。

教师这时，应多巡视，作示范帮学生完成好画图操作过程，画好图形，鼓励学生积极发言，尽量给每一位学生有发言机会，收集好各种信息。

集中起来应形成两种意见：（1）这是
一个大正方形，它的面积为C 2，（2）这个正方形AFIC 它是由四个全等的直角三角形和小正方
形所组成，它的面积为222)(2
14b a a b b a +=-+⨯⨯⨯。

于是教师可顺水推舟再寻问：同一正方形面积相等吗？那么222c b a =+的结论跃然而现。

A
图3 图4
这种构图就是我们前面说过的“赵爽弦图”
，这种方法就是我国数学家赵爽在公元前300多年的证明方法，这是我
国古代数学骄傲。

[设计意图：通过由特殊到一般的探索过程，让学生感受合作交流，探索的乐趣。

在操作过程中我们用旋转、割、
补等方法，激发了学生学数学的热情，进一步体验数形结合
思想和化归的思想。

] （M ）
图5
3、得出结论，深化理解
我们教师可让男、女各派两个代表，用文字的形式把上面结论描述出来，语言要精练。

于是，教师用弯曲的手臂形象表示勾、股、弦的概念，板书勾股定理。

再请同学们阅读课本，提出疑问，教师答疑解惑，促进全班同学共同进步，面向全体同学。

4、拓展、开阔视野
教师：我们已成功探索了勾股定理，请同学们想一想还有没有其他的证法？当然，回答肯定是有的。

方法有很多，老师给大家介绍一种总统
的证法：
如图6，两个全等的直角三角形和一个
等腰直角三角形组成的一个直角梯形，一方
面，S 梯形2)(21)()(21b a b a b a +=+•+=
，另 一方面：S 梯形＝S 1+S 2+S 3＝2212121c ab ab ++，由同一梯形面积相等可得222c b a =+。

这就是美国第20任总统证法。

此时同学们露出兴奋的笑容，都想成为新一代的数学家。

D C
（四）合理应用，解决实际问题
教师：让我们用勾股定理来探究这个问题：
一个门框的尺寸如图7所示，一块长3M ，
宽2.2M 的薄木板能否从门框内通过？为什么？
学生回答：横、坚都不能过。

教师：木板能进去吗？这个门框的最大距
离是多少？如果这个最距离大于宽2.2m 能进吗？A B 图7
学生经过热烈交流讨论，如果最大距离AC 或BD 大于2.2m 就所以进去。

于是学生们根
据勾股定理AC 2=AB 2+BC 2＝12+22＝5，因此，AC ＝236.25≈＞2.2，所以木板可以通过。

（设计意图：这是一道贴近生活的实例，让学生体会勾股定理在生活中的简单应用）
（五）课堂小结：
通过本节的学习，同学们有什么收获？有什么疑问？你还有什么问题需要继续探索？ 学生们总结收获时，要给学生自由空间，鼓励学生多说，教师可引导学生进一步思考，激发学生不满足现状的欲望，培养学生的创新意识。

（六）布置作业
见课本第28页第1题和第2题。

（七）课后反思：学生经过七年级和八（上）学习，已经初步掌握一定的数学运算能力和简单识图能力，通过经历学习过程，积极参与，自主合作探究，学生学习数学的兴趣得到2m
1m
了提升，本节课的三维目标基本实现，突出了重点，分解了难点，课堂教学较流畅，尤其是数形结合思想得到有效渗透和运用，锻炼了学生动手能力和空间想象能力。

由于学生基础参差不齐，掌握程度各不相同，课外应相应加大陪辅和跟踪，这样才能更好促进全面发展。