正弦、余弦定理一. 教学内容： 正弦、余弦定理 二. 教学重、难点： 1. 重点：正弦、余弦定理。

2. 难点：运用正、余弦定理解决有关斜三角形问题。

一、正弦定理和余弦定理1、正弦定理和余弦定理 cos ,cos ,cos .bc A ac B ab C 注：在ΔABC 中，sinA>sinB 是A>B 的充要条件。

（∵sinA>sinB ⇔22R R>⇔a>b ⇔A>B ）二、应用举例1、实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图②）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。

仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。

（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）①北偏东α即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向； ②北偏本α即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；③南偏本等其他方向角类似。

（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角） 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i 为坡比） 2、ΔABC 的面积公式（1）1()2a a S a h h a =表示边上的高； （2）111sin sin sin ()2224abcS ab C ac B bc A R R ====为外接圆半径；（3）1()()2S r a b c r =++为内切圆半径。

【典型例题】[例1] 已知在ABC ∆中，︒=∠45A ，2=a ，6=c 解此三角形。

练习：不解三角形，判断下列三角形解的个数。

（1）5=a ，4=b ，︒=120A （2）7=a ，14=b ，︒=150A （3）9=a ，10=b ，︒=60A （4）50=c ，72=b ，︒=135C正弦定理余弦定理的应用：例2：在ABC∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2s i n c o sc o s AA B +=（ ）A ．12 B ．12C ． -1D ． 1 练习：在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（A ）(0,]6π（B ）[,)6ππ（C ）(0,]3π（D ）[,)3ππ利用正弦定理余弦定理判断三角形的形状及求取值范围[例3]若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =则△ABC A ．一定是锐角三角形. B ．一定是直角三角形.C ．一定是钝角三角形.D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 练习：1、在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcos A的值等于______，AC 的取值范围为______． 2、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π3＜C ＜π2且b a －b ＝sin2C sin A －sin2C(1)判断△ABC 的性状；(2)若|BA ＋BC |＝2，求BA ·BC 的取值范围．3、在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c，(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形利用正余弦定理求三角形面积〖例4〗（2009浙江文）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos2A =，3AB AC ⋅=．（I ）求ABC ∆的面积； （II ）若1c =，求a 的值．练习：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且满足cos 25A =，3AB AC ⋅=． （I ）求ABC ∆的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．正余弦定理实际应用问题 〖例5〗（本小题满分12分）如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？ 已知在ABC ∆中，︒=∠45A ，2=a ，6=c 解此三角形。

解：由余弦定理得：445cos 62)6(22=︒⋅-+b b∴ 02322=+-b b ∴ 13±=b又 C b b cos 222)6(222⨯-+= ∴ 21cos ±=C ，︒=∠60C 或︒=∠120C∴ ︒=∠75B 或︒=∠15B ∴ 13+=b ，︒=∠60C ，︒=∠75B 或13-=b ，︒=∠120C ，︒=∠15B[例4] 已知a 、b 、c 是ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边，S 是ABC ∆的面积，若4=a ，5=b ，35=S ，求c 的长度。

解：∵ 4=a ，5=b ，35sin 21==C ab S∴23sin =C ∴ ︒=60C 或︒120∴ 当︒=60C 时，21222=-+=ab b a c ∴ 21=c当︒=120C 时，61222=++=ab b a c ∴ 61=cBDCA即4)(2≤+c a ∴ 2≤+c a 又1>+c a ∴ 21≤+<c a[例6] 在ABC ∆中，已知)13(-=a b ，︒=30C ，求A 、B 。

解：由余弦定理，ab c b a C 22330cos cos 222-+==︒=∴)13(3)324(2222-=--+a c a a ∴ 22)32(a c -= ∴aa c 21332-=-=由正弦定理：︒-=-=30sin 213sin )13(sin aB a A a ∴2230sin 2sin =︒=B∵ b a > ∴ B A > ∴ B 为锐角 ∴ ︒=45B ∴ ︒=︒+︒-︒=105)3045(180A[例7] 已知ABC ∆中，B b aC A sin )()sin (sin 2222-=-，外接圆半径为2。

（1）求C ∠（2）求ABC ∆面积的最大值 解：（1）由B b aC A sin )()sin (sin 2222-=- ∴R b b a R c R a 2)()44(22222-=-2 ∴ 2=R ∴ 222b ab c a -=- ∴ ab c b a =-+222∴212cos 222=-+=ab c b a C 又 ︒<<︒1800C ∴ ︒=60C（2）B A abC ab S sin sin 322321sin 21=⨯==)sin 120cos cos 120(sin sin 32)120sin(sin 32A A A A A ︒-︒=-︒⋅=232cos 232sin 23sin 3cos sin 32+-=+=A A A A A23)302sin(3+︒-=A∴ 当︒=1202A 即︒=60A 时，233max =S[例8] 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 依次成等比数列，求BB B y cos sin 2sin 1++=的取值范围。

解：∵ ac b =2∴2121)(2122cos 22222≥-+=-+=-+=a c c a acacc a acb c a B∴30π≤<B)4sin(2cos sin cos sin )cos (sin cos sin 2sin 12π+=+=++=++=B B B B B B B B B B y∵ πππ12744<+<B ∴ 1)4sin(22≤+<πB ∴ 21≤<y[例9] 在ABC ∆中，若三边长为连续三个正整数，最大角是钝角，求此最大角。

解：设1-=k a ，k b =，1+=k c ，*N k ∈且1>k∵ C 是钝角 ∴ 0)1(242cos 222<--=-+=k k ab c b a C解得41<<k ∵ *N k ∈ ∴ 2=k 或3 当2=k 时，1cos -=C （舍去）当3=k 时，41cos -=C ∴ )41arccos(-=c∴ 最大角为)41arccos(-【模拟试题】（答题时间：60分钟）一. 选择题：1. 在ABC ∆中，一定成立的等式是（ ） A. B b A a sin sin = B. B b A a cos cos = C. A b B a sin sin =D. A b B a cos cos =2. 在ABC ∆中，若a bB A =cos cos ，则ABC ∆是（ ）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰或直角三角形 3. 已知ABC ∆中，AB=1，BC=2，则C ∠的取值范围是（ ）A.]6,0(πB.)2,0(πC. ]2,6(ππ D. ]3,6(ππ4. ABC ∆中，若A b a sin 23=，则B 为（ ）A. 3πB. 6πC. 3π或π32D. 6π或π655. ABC ∆的三边满足ab c b a c b a 3))((=-+++，则C ∠等于（ ） A. ︒15 B. ︒30 C. ︒45 D. ︒606. 在ABC ∆中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为（ ）A. 223B. 233C. 23D. 337. ABC ∆中，“B A sin sin =”是“A=B ”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要8. ABC ∆中，C C B B A 222sin sin sin sin sin ++=，则A 等于（ ）A. ︒30B. ︒60C. ︒120D. ︒1509. ABC ∆中，︒=30B ，350=b ，150=c ，则这个三角形是（ ） A. 等边三角形 B. Rt 三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形10. 在ABC ∆中，kC cB b A a ===sin sin sin ，则k =（ ） A. 2R B. R C. 4R D. 21R二. 填空：1. 在ABC ∆中，已知7=a ，8=b ，1413cos =C ，则最大角的余弦值为 。

2. 在ABC ∆中，C B A sin cos 2sin =，则三角形为 。

3. 在ABC ∆中，:6:)13(::+=c b a 2，则最小角为 。

4. 若)(341222a c b S -+=∆，则A= 。