自主招生考试数 学 试 题第Ⅰ卷（选择题，共36分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求）1．4-的相反数是 ( )A ．14-B ．14 C ．4 D ．4-2．科技城2012年国民生产总值约为14000000万元，用科学记数法表示为 ( ) A ．71410⨯ B ．71.410⨯C ．61.410⨯D ．70.1410⨯3．一次数学测试后，随机抽取九年级某班5名学生的成绩如下：91，78，98，85， 98．关于这组数据说法错误的是( )A ．平均数是91B ．极差是20C ．中位数是91D ．众数是984．在一个不透明的盒子中装有3个红球、2个黄球和1个绿球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为 （ ）A ．12 B ．13 C ．16 D ．15．已知x 是实数，且(2)(3)10x x x ---=，则x 2+x+1的值为（ ）A ．13B ． 7C ． 3D ． 13或7或36. 如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则sin C 等于 ( )A.34B.43C.45 D. 357．如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，点B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是 ( )A ．点(0，3)B ．点(2，3)C ．点(6，1)D ．点(5，1) 8．将抛物线23x y =向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为 （ ）A ．23(2)1y x =-+B ．23(2)1y x =+- C ．23(2)1y x =-- D ．23(2)1y x =++ 9．图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax 2+(a-c)x ＋c 与一次函数y ax c =+的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是 ( )10. 如图O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，O ⊙半径为23，2AC =，则sin B 为 （ ）A ．23B ．32C ．34D ．4311．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4．将矩形ABCD 绕点C 沿顺时针方向旋转90°后，得到矩形FGCE （点A 、B 、D 的对应点分别为点F 、G 、E ）．动点P 从点B 开始沿BC-CE 运动到点E 后停止，动点Q 从点E 开始沿EF-FG 运动到点G 后停止，这两点的运动速度均为每秒1个单位．若点P 和点Q 同时开始运动，运动时间为x （秒），∆APQ 的面积为y ，则能够正确反映y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）A B C D12. 如图，在ABC ∆中，5==AC AB ，8=CB ，分别以AB 、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分面积是 （ ）A ．25244π-B ．2524π-C ．2512π-D ．25124π-第Ⅱ卷（非选择题，共114分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将答案填入答题卡相应的横线上.） 13．函数2y x =-中，自变量x 的取值范围是 ．14．分解因式：3244a a a -+= ．15．已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别是方程28150x x -+=的两根,且两圆的圆心距122O O t =+,若这两个圆相交,则t 的取值范围为 .16. 在平面直角坐标系xOy 中，有一只电子青蛙在点A(1,0)处．第一次，它从点A 先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点A 1；第二次，它从点A 1先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点A 2；第三次，它从点A 2先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点A 3；第四次，它从点A 3先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点A 4；……依此规律进行，点7A的坐标为 ；若点A n 的坐标为（2014，2013），则n= ．17. 如图，PA 与⊙O 相切于点A ，PO 的延长线与⊙O 交于点C ，若⊙O 的半径为3，PA=4．弦AC 的长为 ．18. 在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC AB BC E ∠==°，，为AB 边上一第12题图A CB D O 第10题图 第11题图第17题P BO CA绵阳市2008-2012年农业观光园 经营年收入统计图 绵阳市2009-2012年农业观光园 经营年收入增长率统计表 点，15BCE ∠=°，且AE AD =．连接DE 交对角线AC 于H ，连接BH ．下列结论：①ACD ACE △≌△； ②CDE △为等边三角形； ③2EH BE =； ④EBC EHCS AH S CH =△△．其中结论正确的是( )三、解答题(本大题共7个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19．（本题共2个小题，每小题8分，共16分） （1）计算：0112(31)2sin 603-+--︒+．（2）先化简，后计算： ，其中33a =-.20．（本小题满分12分）近年来，绵阳郊区依托丰富的自然和人文资源，大力开发建设以农业观光园为主体的多类型休闲旅游项目，城郊旅游业迅速崛起，农民的收入逐步提高．以下是根据绵阳市统计局2013年1月发布的“绵阳市主要经济社会发展指标”的相关数据绘制的统计图表的一部分．请根据以上信息解答下列问题：(1) 绵阳市2010年农业观光园经营年收入的年增长率 是 ；（结果精确到1%） (2) 请补全条形统计图并在图中标明相应数据；（结果精确到0.1）(3) 如果从2012年以后，绵阳市农业观光园经营年收入都按30%的年增长率增长，请你估算，若经营年收入要不低于2008年的4倍，至少要到 年（填写年份）.21. （本小题满分12分）如图，已知等腰直角△ABC 中，∠BAC=︒90，圆心O 在△ABC 内部，且⊙O 经过B 、年份 年增长率（精确到1%）2009年 12% 2010年 2011年 22% 2012年 24%第18题图C 两点，若BC=8，AO=1，求⊙O 的半径.22．（本小题满分12分）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2300元，销售单价定为3000元.在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售;若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2500元. （1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2500元？（2）设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获得的利润为y 元，求y （元）与x （件）之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. 23．（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，以A C 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作FE ⊥AB于点E ，交AC 的延长线于点F ．(2) 若AE=6，sin∠CF D=35，求EB 的长．24. （本小题满分12分）如图，AB 为⊙O 的直径，AB=4，P 为AB 上一点，过点P 作⊙O 的弦CD ，设∠BCD=m∠ACD．CB O A第21题第23题图（1）已知221+=m m ，求m 的值，及∠BCD、∠ACD 的度数各是多少？（2）在（1）的条件下，且21=PB AP ，求弦CD 的长； （3）当323-2+=PB AP 时，是否存在正实数m ，使弦CD 最短？如果存在，求出m 的值，如果不存在，说明理由.25. （本小题满分14分）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：34y x m =+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B(0,32-)，抛物线234y x bx c =++经过点B ，且与直线l 的另一个交点为C9(,)4n ． (1) 求n 的值和抛物线的解析式；(2) 点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为(0)t t n <<．DE∥y 轴交直线l 于点E ，点F 在直线l 上，且四边形DFEG 为矩形（如图2）．若矩形DFEG 的周长为p ，求p 与t 的函数关系式以及p 的最大值； (3) M 是平面内一点，将△AOB 绕点M 沿逆时针方向旋转90°后，得到△A 1O 1B 1，点A 、O 、B 的对应点分别是点A 1、O 1、B 1．若△A 1O 1B 1的两个顶点恰好落在抛物线上，请求出点A 1的横坐标．(答案 C B A B C C D B 题号 9 10 11 12 答案DAAD二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 2x ≥ 14. 2(2)a a - 15. 06t << 16.(5,4),4025 17.1255 18..（1）（2）（4）三19．（本题共2个小题，每小题8分，共16分）（1）解：原式31423123233+-⨯+=+. ………………………8分（2）原式= …………………5分当33a =-时，原式233=. …………………………………8分20. （1）17%； ……………………………4分 （2）所补数据为21.7； ……………………6分补全统计图如图20； …………………8分（3）2015． …………………………12分 21. 解：联结BO 、CO ，联结AO 并延长交BC 于D …1分 ∵等腰直角三角形ABC 且∠BAC=︒90 ∴ AB=AC ……2分 ∵ O 是圆心 ∴OB=OC∴直线OA 是线段BC 的垂直平分线 …4分 ∴ AD⊥BC，且D 是BC 的中点 ……………6分在Rt△ABC 中，AD=BD=BC21∵BC=8 BD=AD = 4 ……………8分 ∵AO=1 ∴OD=BD -AO=3 ……………10分∵AD⊥BC ∴∠BDO=︒90 ∴OB=5432222=+=+BD OD ……12分22. 解：（1）设商家一次购买该种产品x 件时，销售单价恰好为2500元，依题意得300010(10)2500x --=，解得60x =. ………………………………3分答：商家一次购买该种产品60件时，销售单价恰好为2500元. ………… 4分 （2）当010x ≤≤时，(30002300)700y x x =-=; ……………… 6分当1060x <≤时，[]2300010(10)230010800y x x x x =---=-+; …… 8分当60x >时，(25002300)200y x x =-= . ……………………10分所以，()()()⎪⎩⎪⎨⎧∈>∈≤<+-∈≤≤=Z x x x Z x x x x Z x x x y ,60,200,6010,80010,100,7002……………………1２分23. （1）证明：连接OD . ∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC. ………1分 ∵AB=AC，∴∠ACB=∠B. ………2分图20CBOA 第21题∴∠ODC=∠B.∴OD∥AB. …………………………… 3分 ∴∠ODF=∠AEF. ………4分 ∵EF⊥AB， ∴∠ODF =∠AEF =90°. ………5分∴OD⊥EF . ∵OD 为⊙O 的半径，∴EF 与⊙O 相切. ……6分 （2）解：由（1）知：OD∥AB，OD⊥EF .在Rt △AEF 中，sin∠CFD = AE AF = 35，AE=6.∴AF=10. ……8分∵OD∥AB，∴△ODF∽△AEF.∴AE ODAF OF =. ………9分 设⊙O 的半径为r ，∴10-r 10 = r6.解得r= 154. …………………………10分∴AB= AC=2r = 152 . ∴EB=AB -AE= 152 -6= 32. …… ………… 12 分24.解：（1）由221+=m m ，得 2=m . …………………………1分连结AD 、BD. ∵AB 是⊙O 的直径∴∠ACB=90°，∠ADB=90°， 又∵∠BCD=2∠ACD，∠ACB=∠BCD+∠ACD.∴∠ACD=30°，∠BCD=60°. ……………………2分 （2）连结AD 、BD ，则∠ABD=∠ACD=30°，AB=4， ∴AD=2，32=BD . ……3分∵21=PB AP ，∴34=AP ，38=BP . …………4分 ∵∠APC=∠DPB，∠ACD=∠ABD.∴△APC∽△DPB …………………5分∴BP PCDP AP DB AC ==， ∴3383234=⋅=⋅=⋅DB AP DP AC ①，4832339PC DP AP BP ⋅=⋅=⋅=②同理△CPB∽△APD ……………………6分∴AD BC DP BP =，∴316238=⋅=⋅=⋅AD BP DP BC ③， 由①得DP AC 338=，由③得16,3BC DP=23316338==：：BC AC ，在△ABC 中，AB=4，∴2224)316()338=+DP DP （，∴372=DP .由②329PC DP PC ⋅==，得PC =.∴DC CP PD =+=+=. ……………………8分方法二由①÷③得23316338==：：BC AC ，在△ABC 中，AB=4，72143774=⋅=AC ，7782774=⋅=BC . 由③316778=⋅=⋅DP DP BC ，得372=DP .由②329PC DP PC ⋅==，得PC =.∴2137DC CP PD =+=+=. ……………………8分（3）连结OD ，由323-2+=PB AP ，AB ＝4， 则323-24+=-AP AP ，则AP AP ）（）（3-2)32(432--=+， 则32-=AP .32=-=AP OP . ……………………10分要使CD 最短，则CD⊥AB 于P ，于是23cos ==∠OD OP POD .︒=∠30POD ，∴∠ACD=15°，∠BCD=75°，∴m=5，故存在这样的m 值，且m=5. ……………12分25．解：解：（1）∵直线l ：34y x m=+经过点B （0，32-），∴32m =-.∴直线l 的解析式为3342y x =-.∵直线l ：3342y x =-经过点9(,)4c n , ∴933,442n =-解得5n = .………………………1分 ∵抛物线234y x bx c=++经过点9(,)4c n 和点B （0，32-），23,29355.44c b c ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=⨯++⎪⎩解得3,3.2b c =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ ……………2分∴抛物线的解析式为233342y x x =--. ……………3分（2）∵直线l ：3342y x =-与x 轴交于点A ，∴点A 的坐标为(2,0).∴OA=2.在Rt△OAB 中，OB=32，22OA OB +22352()22+=. ……………5分∵DE∥y 轴，∴∠OBA=∠FED.∵矩形DFEG 中，∠DFE=90°， ∴∠DFE=∠AOB=90°.∴△OAB∽△FDE . ………6分∴OA OB ABFD FE DE ==. ∴45OA FD DE DE AB =⋅=，FG yxO BADC El图2535OB FE DE DE AB =⋅=. ……………………7分∴p =2(FD+ FE)=43142()555DE DE⨯+=.∵D（t ，233342t t --），E （t ，3342t -），且05t <<， ∴223333315()(3)424244DE t t t t t=----=-+. ∴22143152121()544102p t t t t =⨯-+=-+. ∵2215105()1028p t =--+，且21010-<，∴当52t =时，p 有最大值1058…………………………9分（3）根据题意可得11O B 与x 轴平行，11O A 与y 轴平行.1）当11,O B 在抛物线上时，根据条件可设11113(,),(,)2O t y B t y +，则223333333()3()424222t t t t --=+-+-，解得54t =. …………11分 2）当11,A B 在抛物线上时，根据条件可设11113(,),(,2)2A t y B t y +-，则223333333()3()2424222t t t t --=+-+-+，解得1336t =. .……13分 综上，点A 1的横坐标为54或1336. .……14分。