机密★启用前 试卷类型：公共课 科目代码：102山东省2019年普通高等教育专升本统一考试高等数学试题本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。

满分100分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号、座号填写到试卷规定的位置上，并将姓名、考生号、座号填（涂）在答题卡规定的位置。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在本试卷上无效。

3.第Ⅱ卷答题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

第Ⅰ卷一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将答题卡的相应代码涂黑。

错涂、多涂或未涂均无分。

1. 函数()sin f x x x = A. 当x →∞时为无穷大B. 在()-+∞∞，内为周期函数 C. 在()-+∞∞，内无界 D.当x →∞时有有限极限2. 已知2()sin f x dx x xC =+⎰，则2()xf x dx =⎰A.2cos x x C + B.2sin x x C + C.241cos 2x x C + D.241cos 2x x C +3. 下列各平面中，与平面236x y z +-=垂直的是A. 2461x y z +-=B.24612x y z +-=B.1123x y z++=- D.21x y z -++= 4. 有下列关于数项级数的命题（1）若lim 0n n u →∞≠，则1nn u∞=∑必发散；（2）若10,(1,2,3)lim 0n n n n n u u u n u +→∞>>==且，则1n n u ∞=∑必收敛；（3）若1nn u∞=∑收敛，则1nn u∞=∑必收敛；（4）若1nn u∞=∑收敛于s ，则任意改变该级数项的位置所得到的新的级数仍收敛于s.其中正确的命题个数为A.0B.1C.2D.3 5. 已知22F(,)ln(1)(,)Dx y x y f x y dxdy =+++⎰⎰，其中D 为xoy 坐标平面上的有界闭区域且(,)f x y 在D 上连续，则(,)F x y 在点（1,2）处的全微分为A.1233dx dy + B.12+(1,2)33dx dy f + B.2133dx dy + D.21+(1,2)33dx dy f +第Ⅱ卷二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 6.函数1()ln cos f x x=的定义域为__________.7. 设函数01sin 2,(),xtdt f x x ta ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰00x x ≠=，在0x =处连续，则a =___________. 8. 无穷限积分x xe dx -∞=⎰___________.9. 设函数2(,,)xf x y z e yz =.其中(,)z z x y =是由三元方程0x y z xyz +++=确定的函数，则(0,1,1=x f '-）____________.10. 已知函数()y y x =在任意点处的增量2+1y xy xα∆∆=+，且当0x ∆→时，x α∆是的高阶无穷小，若(0)y π=，则(1)y =____________. 三、解答题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）11. 求极限22ln sin lim(2)x xx ππ→- 12. 求曲线222(1)t x y t t ⎧=⎪⎨⎪=-⎩在2t =处的切线方程与法线方程. 13. （1）验证直线1225:520x y z L x y z +-=⎧⎨--=⎩与直线231:234x y z L +-==平行； （2）求经过12L L 与的平面方程.14. 设(2)(,)z f x y g x xy =-+，其中函数()f w 具有二阶导数，(,)g u v 具有二阶连续偏导数，求zx ∂∂与2z x y∂∂∂.15. 判别级数1!nn n n ∞=∑的敛散性.16.已知12()xy e C C =+（12,C C 为任意常数）是某二阶常系数线性微分方程的通解，求其对应的方程.17. 计算二重积分Dyd xσ⎰⎰，其中D 由222(0),x y a a y x x +≤>=及轴在第一象限所围成的区域.四、应用题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）18. 计算由29y x =-，直线21x y ==-及所围成的平面图形上面部分（面积大的那部分）的面积A.19. 求二元函数22(,)(2)ln f x y x y y y =++的极值. 五、证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分） 20. 证明当0x >时，arctan ln(1)1xx x+>+.21. 设函数[]()0,1f x 在上可微，当010()1()1x f x f x '≤≤<<≠时且，证明有且仅有一点(0,1)x ∈，使得()f x x =.机密★启用前 试卷类型：公共课 山东省2019年普通高等教育专升本统一考试高等数学试题参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1. 答案：C. 解析：根据函数有界性定义可知，函数()sin f x x x =无界。

2. 答案：C. 解析：由题目可知2()sin f x dx x xC =+⎰，不定积分2()=xf x dx ⎰()2224241111()sin sin 222f x d x x x C x x C ⎡⎤=+=+⎣⎦⎰ 3. 答案： D. 解析：由题目可知，已知平面的法向量为(1,2,3)n =-，选项A ，B 平面 法向量均为(2,4,6)-，所以与已知平面的法向量平行，即平面与已知平面平行。

选项C 表示直线的方向向量为(1,2,3)s =-，与已知平面的法向量不平行，所以直线与已知平面不垂直。

选项D 表示平面法向量为()1,2,1-，因为(1,2,1)(1,2,3)0-⋅-=，所以与已知平面法向量垂直，即平面与已知平面垂直。

4. 答案：B. 解析：由收敛极限的性质可知，若1nn u∞=∑收敛，则lim 0n n u →∞=。

反之不成立，所以（1）错误；（2）中若最后改为()11nn n u ∞=-∑收敛则正确；（3）若1n n u ∞=∑收敛，则1n n u ∞=∑不一定收敛，例如当11n n u +-=时，满足1nn u∞=∑收敛，但1nn u∞=∑发散；由收敛极限的性质可知，（4）正确。

5. 答案：A. 解析：因为D 为xoy 坐标平面上的有界闭区域，且(,)f x y 在D 上连续。

所以(,)Df x y dxdy ⎰⎰为常数，设(,)Df x y dxdy ⎰⎰为a ,则22(,)ln(1)F x y x y a =+++，所以(1,2)(1,2)222113F x xx y ∂==∂++，(1,2)(1,2)222213F y yx y ∂==∂++，所以(,)F x y 在点（）处的全微分为1233dx dy +。

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6.答案：,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 解析：由原题得不等式组240ln cos 0cos 0x x x ⎧-≥⎪≠⎨⎪>⎩，解得22022x x x ππ⎧⎪-≤≤⎪≠⎨⎪⎪-<<⎩取交集得,00,22x ππ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.7.答案：-2. 解析：000000sin 2sin 21sin 2sin 2lim lim lim =lim 2x x x x x x x tt dt dttx t t dt x tx x x→→→→-==-=-⎰⎰⎰8. 答案： -1. 解析：00lim 1x x x x xx x xe dx e xe dx e xe e x -∞-∞-∞-∞-∞→-∞=⋅-=⋅-=-⋅-⎰⎰；因为1lim lim lim lim 0xx x x x x x x x xe e e e --→-∞→-∞→-∞→-∞===-=-洛必达所以原式011=--=-. 9． 答案：1. 解析：化简得1x yz xy--=+，()()()()2221,,221x x x x x xy x y yf x y z yz e ye z z yz e zye xy -+---''=+⋅⋅⋅=+⋅+()0,1,11x f '-=.10.答案：4e ππ 解析:由原题得21yy x '=+,22ln arctan 1+1dy y dy dx y x c dx x y x ===++，，得arctan x cy e+=，将()0y π=代入，得ln c π=，arctan xy eπ=,故()41y e ππ=.三、解答题(本大题共7小题，每小题6分，共42分）11. 解：两次利用洛必达法则，得()()()22222cos ln sin cos 1sin lim lim lim lim 4242sin 2x x x x xx x x x x x x πππππππ→→→→==⋅-----..............（3分） 22cos sin 1limlim 4(2)88x x x x x πππ→→-==---......................................（3分）12. 解：当2t =时，由参数方程可得曲线上对应点的坐标为(2,4)................（1分）由参数方程可知2,32dx dyt t t dt dt==- 所以曲线在该点的切线斜率为211324t t dyt t dxt==-==......................（3分）故所求的切线方程为44(2)y x -=-，即44y x =-.......................（1分） 曲线在该点的法线方程为14(2)4y x -=--，即1942y x =-+...............（1分）13. 解：（1）1L 的方向向量为(1,2,2)(5,2,1)3(2,3,4)s =-⨯--=-，所以12L L 与的方向向量平行，所以12L L ..................................................（3分）（2）在1L 上任取一点，例如5250612⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，与2L 上的点()3,0,1-连接得向量12325(,,1)612s =-，所求平面的法向量为()23253452222,3,4-=(-,,)612333⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，，1 由点法式得平面方程为()3452223(1)0333x y z -++--=， 172611400x y z -++=...............................................（3分）14. 解：2u v zf g yg x∂'''=++∂...............................................（3分）22uv v vv zf xg g xyg x y∂'''''''=-+++∂∂...................................（3分）15. 解：()()111!11lim lim lim lim 111!n nnn n n nn n nn u n n e u n n n n ++→∞→∞→∞→∞++⎛⎫⎛⎫=⋅==+=> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭......（4分） 由正项级数的比较审敛法得知，原级数发散.............................（2分）16. 解：由通项表达式可知，特征根为1,21r =-...........................（2分）所以特征方程为2(1)(1)230r r r r --=-+=..................（2分） 所以所求方程为230y y y '''-+=........................................（2分）17. 解：利用极坐标，积分区域D 可表示为(),0,04D r r a πθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭......（2分）所以224440000sin tan ln cos ln 2cos 24a a a Dy r r a d d rdr rdr x r πππθσθθθθ===-⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ...................................................................（4分） 四、应用题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）18. 解：所围成图形的面积为()2192A y dy -⎤=--⎣⎦...............................................（4分）23111207)733y dy y y --⎡=-+=-+=⎢⎥⎣⎦......................（3分）19. 解：令222(2)0,2ln 10x y f x y f x y y ''=+==++=得驻点为1(0,)e........................................................（3分）因为221(,)42,(,)4,(,)2xx xy yy f x y y f x y xy f x y x y''''''=+==+所以在点1(0,)e处，11(0,)(0,)12(0,)2(,)4,(,)0,(,)eexx xy yy eA f x yB f x yC f x y e e''''''==+====.....（2分）所以20,0A AC B >->,所以在点1(0,)e处取得极小值110,f e e⎛⎫=-⎪⎝⎭........（2分） 五、证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）20. 证明：令()(1)ln(1)arctan f x x x x =++-................................（3分）当0x >时，2221()ln(1)1ln(1)011x f x x x x x '=++-=++>++..............（2分）故()f x 在(0,)+∞内单调递增，因此()(0)0f x f >=，即(1)ln(1)arctan 0x x x ++->所以原不等式成立。