分段函数的几种常见题型及解法
分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化
1．求分段函数的定义域和值域
例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x
x x +∈-⎧⎪
=-∈⎨⎪∈+∞⎩
的定义域、值域.
2．求分段函数的函数值
例2．已知函数2
|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x
--≤⎧⎪
=⎨>⎪+⎩求12[()]f f .
3．求分段函数的最值
例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪
=+<≤⎨⎪-+>⎩
的最大值.
4．求分段函数的解析式
例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ）
2
22(10)
.()2(02)x x x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩
222(10)
.()2(02)x
x x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 222(12)
.()1(24)x
x x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 2
26(12)
.()3(24)x
x x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩
5．作分段函数的图像 例5．函数|ln |
|1|x y e
x =--的图像大致是（ ）
A
C
D
6．求分段函数得反函数
例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时, ()31x
f x =-, 设
()f x 得反函数为()y g x =, 求()g x 的表达式.
7．判断分段函数的奇偶性
例7．判断函数2
2(1)(0)
()(1)(0)
x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.
8．判断分段函数的单调性
例8．判断函数32
(0)
()(0)x x x f x x
x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.
例9．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.
【解析】121231()
()3(2)31(2)x x f x x x x x -+≤-⎧⎪
=+-<<⎨⎪-≥⎩
, 画图易知单调
减区间为12(,]-∞-.
9．解分段函数的方程
例10．设函数812(,1]()log (1,)
x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1
()4f x =的x 的值为
10．解分段函数的不等式
例11．设函数1221(0)
()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪
=⎨⎪>⎩, 若
0()1f x >, 则0x 得取值范围是（ ）
.(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞-⋃+∞ .(,1)(1,)D -∞-⋃+∞
例12．
设函数2
(1)
(1)()4(1)
x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围为
（ ）
A ．(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃ C. (,2][1,10]-∞-⋃ D. [2,0][1,10]-⋃
.
x
x
y。