切应力沿截面高度呈抛物线分布 最大切应力发生在中性轴
h2

b2 b2
y
max
3 FS 2 A
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MECHANICS OF MATERIALS
Fs
翼缘 S z ( ) ( H 2 h2 ) 8 1 t1 ( H h) 2 Fs ( H h) ( ) 4Iz b 2 2 t 2 h2 2 腹板 S z ( ) ( H h ) ( y ) 8 2 2 Fs ( y) [b( H 2 h2 ) t 2 ( h2 4 y 2 )] 8 I z t2
A
ydA 0
中性轴位置： 中性轴过截面形心
中性轴

A
y dA M
E


A
y 2 dA M
A
z
定义
确定中性层 的曲率半径
Iz

y 2 dA
y
M EI z
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1
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MECHANICS OF MATERIALS c,max
结 论： y


y
E
1

横截面：上宽度变宽， 下宽度变窄。
内部变形
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MECHANICS OF MATERIALS

推论：
M
M
中性层
一侧伸长，一侧缩短
变形过程中横截面绕中性轴相对转动
中性层
存在既不伸长，也不缩短的面
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MECHANICS OF MATERIALS
二、弯曲正应力一般公式 1. 几何方面
FS (y) y z
一般梁横截面窄而高；
假设(y)的 分布形式
y
假设横截面上各点：//截面侧边 并沿截面宽度方向均匀分布
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MECHANICS OF MATERIALS
利用分离体平衡来求横截面上的切应力
M+dM (y) FS dx FS F1 b dx dA F2 y z
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MECHANICS OF MATERIALS
§6-4 梁的强度条件
一、梁危险点处的应力状态
矩形截面梁:
C ,max C ,max
a
C
a
max
z
b
b
max
c
y
t ,max
c
t ,max
危险点：a, c 点处: 单向应力； b 点处: 纯剪切
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假设内部变形 建立几何方程
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MECHANICS OF MATERIALS
一、实验观测与假设

观察外部现象：
观察结果：
仍为直线
横线：
仍与纵线正交 两横线相对转动
纵线： 1、平面假设： 变形后，横截面仍为平面， 且仍与纵线正交 2、单向受力假设： 梁内各纵向纤维仅受轴向应力
变为曲线 上缩短，下伸长

h2

b2 b2
y
b h 2 y 2 4
2
bh3 Iz 12
l
l
最大切应力发生在中性轴
max
3 FS 2 A
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3FS 4 y2 ( y) 1 2 2bh h
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MECHANICS OF MATERIALS
截面翘曲与非纯弯推广
梁强度问题的分析步骤： 1、内力分析——确定危险截面
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MECHANICS OF MATERIALS
上一讲回顾
对称弯曲切应力：
FS S z ( ) (y ) Izb
h2
C
y
FS
z O
max

3FS 4 y 2 矩形截面梁： ( y) 1 2 2bh h
ERIALS
l
弯曲切应力沿横截面的分布规律： FS S z ( ) (y ) F h2 Izb
S
截面静矩与惯性矩
C
y
z
O
h 1h Sz ( ) b y y 2 2 2
max
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MECHANICS OF MATERIALS
第六章
§6-1 引言
弯 曲 应 力
§6-2 弯曲正应力 §6-3 §6-4 §6-5 §6-6 弯曲切应力 梁的强度条件 梁的合理强度设计 双对称截面梁的非对称弯曲
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MECHANICS OF MATERIALS
§6-1 引 言
F
(1)
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MECHANICS OF MATERIALS
薄壁截面梁:
C ,max
d
z
1
1
O
a max

C
a
b
max
1
t ,max
b
max
1
y
1
1
c
d
t ,max
c
y
C ,max
危险点： a 点处: 纯剪切 b 点处: , 联合作用
c , d 点处: 单向应力
M
F1
dA
x方向平衡： F1 ( y ) b dx F2
F2 F1 ( y) b dx
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MECHANICS OF MATERIALS
公式推导过程
F1
F2 F1 ( y) b dx
dA
My Iz
b/2 h0/2

b/2
翼缘
腹板：//腹板侧边，均匀分布。 翼缘：//翼缘侧边，均匀分布。 分析方法：分离体平衡 F S ( ) ( y) S z Iz b 翼缘：
FS ( h0 h) 4Iz
F1 F2 tdx
h/2 h/2
腹板 C z
h0/2
( y)
腹板：
My 正应力公式： ( y ) Iz
max
M Wz
（Wz －抗弯截面系数）
应用条件： max p
，对称弯曲 , 纯弯与非纯弯
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MECHANICS OF MATERIALS
例：简支梁受均布载荷作用，若分别采用截面面积
相等的实心圆截面和空心圆截面求梁的最大正应力
F
若梁的横截面积相同 (1)，(2)两种情况那种 情况对梁承载有利？
(2)
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MECHANICS OF MATERIALS
对称弯曲：
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MECHANICS OF MATERIALS
梁弯曲时横截面上的应力
M M
Fs
弯曲正应力 M 弯曲切应力 FS
FS dA dA
My Iz
应力分布
M EI z
最大弯曲正应力 max
t,max
Mymax M Iz I z / ymax
Iz y
max
M Wz
定义 Wz
抗弯截面系数
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MECHANICS OF MATERIALS
典型截面的惯性矩与抗弯截面系数 ( d
b
中性层
考察线段ab的变形： 变形前： ab dx d
d

y a’
a b
中性轴
变形后： ab ( y )d
z
ab ab yd

yd y dx d
几何方程
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b’
y
dx
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MECHANICS OF MATERIALS
•切应力利用纯弯正应力公式推导 •纯弯正应力公式依据平截面假设 •切应力非均匀分布引起截面翘曲
O
•平截面假设不再严格成立矛盾解法 •但当l »h时，纯弯正应力公式用于横力 弯曲仍然相当精确
max

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MECHANICS OF MATERIALS
二、工字形薄壁梁的弯曲切应力
工字形梁的弯曲切应力
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MECHANICS OF MATERIALS
二、梁的强度条件
• 弯曲正应力强度条件：
max
M W [ ] z max
c
d
t ,max
max：最大弯曲正应力 [] ：材料单向应力许用应力
C ,max
•弯曲切应力强度条件：
max
FS Sz ,max [ ] I z max
a
b
max
max ： 最大弯曲切应力
[] ： 材料纯剪切许用应力
• ,联合作用强度条件（详见第9章强度理论）
1
1
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MECHANICS OF MATERIALS
三、梁强度条件的选用
细长非薄壁梁： max max
M F1 Iz
ydA
z
ydA S ( )
z y
MS z ( ) F1 Iz
( M dM ) Sz ( ) F2 Iz
dM S z ( ) ( y) I z b dx
dM FS dx
FS Sz ( ) ( y) Iz b
y
( y)
FS 2 [b( h0 h2 ) ( h2 4 y 2 )] 8I z