第六章空间解析几何学一、内容分析与教学建议（一）空间解析几何是在平面解析几何的基础上，用代数的知识和方法来研究空间的平面、直线、曲面及曲线。
它不仅为二元函数微积分提供必要的几何图形知识，且向量代数也是为学习后继课程不可缺少的工具。
本章的内容相对来说容易接受，教学时间上可补充有关内容，若时间紧张，可适时加快速度，教学方法上，自学、讨论、讲授可结合起来。
（二）向量代数1、应从物理概念引入向量概念，指出向量与数量的区别，使学生从定性到定量的理解并掌握好向量及其运算。
2、从实例引入数量积和向量积的概念，指定这两个概念的不同，并要求给予一定的练习和例题，使学生熟悉这种运算，可简要介绍二、三阶行列式的运算，使学生掌握向量积的公式。
（三）平面和直线的方程形式较多，重点讲述平面的点法式方程和直线的对称式方程，这类问题的关键求平面的法向量和直线的方向数，最后，可适当补充杂例提高学生这方面的解题能力。
（四）类比平面直角坐标系，讲清曲面与方程，空间曲线与方程之关系，一些特殊的曲面（如柱面、旋转面、锥面），必须讲透它们的形式，使学生能从方程识别图形及描绘。
（五）平行截面法中，通过椭球面讲清它的方法，其余可让学生自学等，二次曲面中，主要是要求学生识别它们的方程及绘出其草图。
（六）通过空间曲线在坐标面上的投影，拓广为空间几何体在各个坐标面上投影（可适当补充例题），为以后多元函数微积分奠定基础。
二、补充例题例1 向量d 垂直于向量]1,3,2[ a 和]3,2,1[ b ，且与]1,1,2[ c 的数量积为6 ，求向量d解： d垂直于a 与b，故d平行于b a，存在数 使b a d]1,3,2[ ]3,2,1[]7,7,7[因6 c d，故6)7(1)7()1(72 ， 73]3,3,3[ d例2 向量b a 57 分别与b a 27 垂直于向量b a 3 与b a 4 ，求向量a 与b的夹角。
解： 由题设有：)4(270357b a b a b a b a83070151672222b b a a b b a a解得：b a a 22，b a b 22，2122,cos b a b a b a b a b a b a3b a例3 平面01 z y x 上的直线L 通过直线1L ：102z y z x 与此平面的交点且与1L 垂直，求直线L 方程.解： 解方程组010201z y z x z y x得0 x ，1 y ，0 z ，为直线1L 与已知平面的交点，直线L 的方向向量s同时垂直于1L 的方向向量1s 与平面的法向量n ，当1s 与n不平行时，可取s 1s ]1,1,2[]11,0[]2,0,1[ n]11,1[ n ，n 与1s不平行故 s]13,2[]11,0[]1,1,2[直线L 的方程为：1312zy x 例4 求直线L ：11111z y x 在平面 ：012 z y x 上投影直线0L 的方程， 并求直线0L 绕y 轴旋转一周而成的曲面方程. 解： 将直线L ：11111z y x 化为一般方程0101y z y x 设过直线L 且与平面 垂直的平面方程为 011 y z y x 则有02)1(1 ，即1 ，平面方程为0123 z y x这样直线0L 的方程0120123z y x z y x 把此方程化为：)1(221y z y x ，因此直线0L 绕y 轴旋转一周而成的曲面方程为： 2222)1(21)2(y y y x即 0124174222y z y x例5 一直线l 过点)0,2,1(0M 且平行于平面 ：042 z y x ，又与直线l ：122112x y x 相交，求直线l 的方程 解： 过点0M 且平行于已知平面的平面为1 ：0)0)(2(2)1( z y x即 032 z y x下面求直线1l 与平面1 的交点，直线1l 的系数方程为 2 t x ，12 t y ，2 t z 代入平面1 的方程，得25t ，于是得直线1l 与平面 交点为 29296，，M ，所求直线的方向向量为 2927,6, M M 或 ]9,8,7[ s故所求直线的方程为98271zy x 例6 求点)1,`1,2(0 M 到直线l ： 032012z y x z y x 的距离d解Ⅰ：直线l 的方向向量为 ]4,2,0[121121 k j i s在l 上任取一点)2,0,1( M ，则]1,1,3[ M Ms M M]6,12,2[420113 kji462 s ，又52 s5230ssM M d解Ⅱ：将直线l 的方程由一般式化为标准式得42201z y x 故过点0M 与直线l 垂直的平面 的方程为0)1(4)1(2 z y ， 即 012 z y直线l 的参数式方程为：1 x ，t y ，22 t z 将上式代入平面 的方程，得：01)22(2 t t解得：53 t ，所以直线l 的交点为 5453,,1 N 2，于是点0M 到直线l 的距离为5230122512522）（N M d 例7 求两直线1l ：02201z y x z y x 与2l ：0422022z y x z y x 之间的最短距离解Ⅰ：过1l 作平面20//l ，过2l 的平面方程为0)22(1 z y x z y x即 0)21()1()1()21( z y x 要此平面平行于2l ，则此法向量0n 须垂直于0s，即002 n s， 亦即 0)1(3)21(6解得：31 ，从而平面0 的方程为0122 z y x 容易得到直线2l 上一点)2,0,0(2 M ，点2M 到平面0 的距离为1)2(211)2)(2(222h即为1l 与2l 之间的距离解Ⅱ：容易得到直线1l 上的一点)0,0,1(1M ，直线2l 上的一点)2,0,0(2 M ，于是]2,0,1[21 M M可求得直线1l 与直线2l 的方向向量分别为]1,1,0[1 S ， ]0,3,6[2 S两直线公垂线的方向向量为 ]2,2,1[ S直线1l 与2l 之间的距离为1Pr 2121SSM M M M j h s 例8 求过直线L ：185017128z y x z y x 且与求面1222 z y x 相切的平面方程解： 设所求平面为 018517128 z y x z y x 即 017)2()828()51( z y x由题意，球心)0,0,0(到它的距离为1，即1)2()828()51(17222， 89250或 2 所求平面为：42124164387 z y x 或 543 y x例9 求直线1l ：321z x z y x 与直线2l ：1 z y x 的公垂线的方程解： 2L 的方向向量]1,1,1[2 l 而1L 的方向向量k j i k j i l231021111于是公垂线l 的方向向量k j i kj i l l l4311123121过1l 与2l 的平面 法向量k j i kj i l l n62184312311也可取法向量]3,1,9[ n，以1 z 代入1L 方程可得1l 上的点]1,1,1(1M ，于是平面 方程 0)1(3)1()1(9 z y x 即 01339 z y x再求2L 与 的交点P ，2L 的参数方程为 t x ，t y ，t z 1代入上述平面方程，得： 013)1(39 t t t ，1310 t 再代回2l 的参数方程得 1310 x ，1310 y ，1323 z于是P132313101310,,，兼顾公垂线l 的方向向量]4,3,1[ l于是可产生公垂线l 的方程为431132313101310 z y x 例10求过直线L ：185017228z y x z y x 且与球面1222 z y x 相切的平面方程解： 设所求平面为 018517228 z y x z y x即 017)2()828()51( y x 由题意：球心)0,0,0(到它的距离为1，即1)2()828()51(17222解得：89250或 2 所求平面为：42124164387 z y x 或 543 y x三、补充练习1、设b a m 32 ，b a n 3，12 b a，3 b a ，求① n m ② n m ③m解： ① 311 n m ② 28 n m ③ 37 m2、 以向量n m a2和n m b54 作为平行四边形的对角线，其中m 和n是夹角为4的两个单位向量，求该平行四边形的面积3、如果d 垂直于三个互相垂直的非零向量a ，b ，c，证明：d 只能是零向量4、求过点)25,3( 且与两平面34 z x 和13 z y x 平行直线方程.15,72,43z y x 5、一平面经过直线（即直线在平面上）l ：41235zy x ，且垂直于平面 015 z y x ，求该平面的方程. )039275( z y x6、设一平面垂直于平面0 z ，并通过从点)1,1,1( P 到直线 01x z y 的垂线，求该平面的方程.)012( y x7、求直线923042z y x z y x 在平面14 z y x 上投影直线方程.0140117373117z y x z y x 8、求球面9222z y x 与平面1 z x 的交线在xOy 面上投影的方程01217217212222z y x9、一个立体由224y x z和223y x z 所围成，求此立体在xOy 面上投影.0,122z y x10、求由曲线 022x zy 绕z 轴旋转一周而成的曲面被两平面2 z 与8 z 所截得的曲面主部分S 在在xOy 面上的投影区域D ，并绘出图形.0,16422z y x。