5 x2 y 2 2 2 2 有 x′ +y′ =5,所以 x + 2 y =5,得 5 4 =1, 即所求的方程表示的曲线 C 是椭圆.
2
反思归纳
当形成曲线的动点 P(x,y)随着另一个在已知曲线 f(x,
y)=0 上的动点 Q(x0,y0)有规律的运动时,我们利用这种规律就能得到 x0 = x,y),y0= (x,y),而 x0,y0 满足 f(x0,y0)=0,将 x0= (x,y),y0= (x,y)代入就可得到动点 P(x,y)所形成的曲线的方程.
2
思路点拨:(1)即在a=3b的情况下,椭圆过点A(3,0),分焦点在x,y轴分 类求解;
(2)椭圆的焦点位置不确定,可以设椭圆方程为一般形式mx2+ny2=1
(m>0,n>0,m≠n),根据椭圆过两个点得到两个独立的方程,通过这两 个独立的方程求解待定的系数即可求出椭圆方程.
.
平分线,
思路点拨:线段中垂线上的任意一点到线段两个端点的距离相等,对 之和等于常数,根据椭圆定义可得椭圆方程中的系数.
于点Q,则|QA|=|QP|,P,C,Q三点共线,可得点Q到两个定点A,C的距离 |=10,
圆,且 2a=10,c=3,
y2 =1. 5 16
x2 y 2 答案: =1 25 16
求椭圆方程的几种常用方法
在解析几何的以椭圆为载体的解答题中,第一问往往是先求椭圆方程,
能否正确求出椭圆方程是解题的先决条件,下面我们总结求椭圆方程的 几个常用方法.
方法一 定义法 【例1】 已知圆C:(x-3)2+y2=100及点A(-3,0),P是圆C上任一点,线段PA的
垂直平分线l与PC相交于Q点,则Q点的轨迹方程是
之和等于常数,根据椭圆定义可得椭圆方程中的系数.
解析:如图所示,因为 l 是 PA 的垂直平分线, 所以|PQ|=|AQ|,|QA|+|QC|=|QC|+|QP|=10, 所以 Q 点的轨迹是以 A,C 为焦点的椭圆,且 2a=10,c=3, 所以 a=5,b=4. 2 2 故所求的椭圆方程为
答案:
x2 y 2 因此,所求的椭圆方程为 =1. 9 4
反思归纳
(1)求解椭圆标准方程时,如果不能确定椭圆焦点的位置,
要有分类讨论的思想意识;(2)当椭圆的焦点位置不确定时可以设椭圆 方程的一般形式mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),根据题目的其他已知条件
得到两个独立的方程,通过方程确定椭圆方程中的系数,这种待定系数
文数
方法一 定义法 【例1】 已知圆C:(x-3)2+y2=100及点A(-3,0),P是圆C上任一点,线段PA的
垂直平分线l与PC相交于Q点,则Q点的轨迹方程是
.
思路点拨:线段中垂线上的任意一点到线段两个端点的距离相等,对
于点Q,则|QA|=|QP|,P,C,Q三点共线,可得点Q到两个定点A,C的距离
为曲线 C,求曲线 C 的方程.
思路点拨:动点M的轨迹为圆,建立动点T的坐标与动点M的坐标之间的关 系,代入动点M的轨迹方程得出动点T的轨迹的方程.
解:设点 T 的坐标为(x,y),点 M 的坐标为(x′,y′),则 M1 的坐标为(0,y′), 2 5 2 5 2 5 2 5 x, y ON = , OM = x, y ,于是点 N 的坐标为 5 5 5 5 2 5 2 5 . N1 的坐标为 5 x ,0 ,所以 M1M =(x′,0), N1 N = 0, 5 y 2 5 , 由 OT = M1M + N1 N ,有(x,y)=(x′,0)+ 0, 5 y x x, 5 所以 y.由| OM |= 5 , 2 5 由此得 x′=x,y′= 2 y. y 5
x y =1 25 16
x2 y2 =1. 25 16
反思归纳
当动点满足到两定点距离之和为常数时(该常数大于两定点
之间的距离),动点的轨迹为椭圆,可以在特定的坐标系中直接得出椭圆方 程的系数,写出椭圆方程.
方法二 待定系数法 【例2】 (1)已知椭圆的长轴是短轴的3倍,且过点A(3,0),并且以坐标轴为 对称轴,求椭圆的标准方程; 4 2 (2)已知椭圆的焦点在坐标轴上、两焦点的中点是坐标原点,且过 M 1, 3 , 3 2 ,求椭圆的标准方程. N , 2
x2 2 y 2 x2 故椭圆方程为 +y =1 或 + =1. 9 81 9
(2)设椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),
4 2 3 2 将M 1, 3 , N 2 , 2 代入方程组,
32 1 m n 1, m , 9 9 得 解得 9 m 2n 1, n 1 . 焦点在 x 轴上,设方程为 2 2 =1(a>b>0). a b 2a 3 2b, a 3, x2 2 由题意得 9 解得 所以椭圆的方程为 +y =1. 0 1, b 1, 9 a2 b2 y 2 x2 若椭圆的焦点在 y 轴上,设方程为 2 2 =1(a>b>0). a b 2a 3 2b, a 9, y 2 x2 由题意得 0 解得 所以椭圆方程为 =1. 9 2 1, b 3， 81 9 2 b a
的方法是求解椭圆方程的基本方法之一.
方法三 代入法
2 5 【例 3】 直角坐标平面上,O 为原点,M 为动点,| OM |= 5 , ON = OM .过 5
点 M 作 MM1⊥y 轴于 M1,过 N 作 NN1⊥x 轴于点 N1, OT = M1M + N1 N .记点 T 的轨迹