2.3 第一课时 离散型随机变量的均值一、课前准备 1．课时目标(1) 理解离散型随机变量的均值的定义；(2) 能熟练应用离散型随机变量的均值公式求值；(3) 能熟练应用二项分布、两点分布、超几何分布的均值公式求值. 2．基础预探1．若离散型随机变量X 的分布列为则称_______________________为随机变量X 的均值或数学期望. 2.两点分布：若X 服从两点分布，则EX ＝__________.3.二项分布：若随机变量X 服从二项分布，即~(,)X B n p ，则EX =___________.4.超几何分布：若随机变量X 服从N ，M ，n 的超几何分布，故EX =___________. 二、学习引领1.随机变量的均值与样本的平均值的关系随机变量的均值反映的是离散型随机变量的平均取值水平．随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化.对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值． 2.求随机变量的均值的步骤①分析随机变量的特点，若为两点分布、二项分布、超几何分布模型，则直接套用公式；②否则，根据题意设出随机变量，分析随机变量的取值；③列出分布列；④利用离散型随机变量的均值公式求解．3. 试验次数对随机变量的均值有没有影响假设随机试验进行了ｎ次，其中1x 出现了1p n 次， 2x 出现了2p n 次，…，n x 出现了n p n 次；故X 出现的总值为1p n 1x ＋2p n 2x ＋…＋n p n n x .因此ｎ次试验中，X 出现的均值1122n np nx p nx p nx EX n+++=，即EX ＝1122n n p x p x p x +++.由此可以看出，试验次数对随机变量的均值没有影响. 三、典例导析题型一 离散型随机变量的数学期望例1 某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产出了1件、2件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过.（Ⅰ）求第一天通过检查的概率； （Ⅱ）求前两天全部通过检查的概率；（Ⅲ）若厂内对车间生产的产品采用记分制：两天全不通过检查得0分，通过1天、2天分别得1分、2分，求该车间在这两天内得分X 的数学期望． 思路导析：先利用古典概型的知识求的第一二天通过检查的概率；再利用相互独立事件的概率乘法便可求的前两天全部通过检查的概率；列出X 可能的取值，求出其分布列便可利用公式求X 的均值． 解：（I ）因为随意抽取4件产品检查是随机事件，而第一天有9件正品．所以，第一天通过检查的概率为P C C 19410435==．（II ）同（I ），第二天通过检查的概率为P C C 28410413==．因第一天，第二天是否通过检查相互独立所以，两天全部通过检查的概率为：P P P ==⨯=12351315． （Ⅲ）记该车间在这两天内得分X 的值分别为0，1，2， 所以 224(0)5315P X ==⨯=，32128(1)533515P X ==⨯+⨯=，311(2)535P X ==⨯=．因此，481140121515515EX =⨯+⨯+⨯=．方法规律：求一般离散型随机变量X 的数学期望，需先找出随机变量X 的可能取值，求出X中每个值的概率，然后利用定义求期望．变式训练：甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生面试，若甲、乙能通过面试的概率都是32，则面试结束后通过的人数X 的数学期望EX 是 ( )． A ．34B ．911C ．1D ．98题型二 常见离散型分布模型的数学期望 例2 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立（I ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；（Ⅱ）X 表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X 的期望. 思路导析：由题意可知A 、B 是互斥的，故可利用互斥事件的概率公式求解．（II ）显然符合二项分布模型，故可直接利用公式得到均值． 解：记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；（I ）()0.5,()0.3,,P A P B C A B ===⋃()()()()0.8.P C P A B P A P B =⋃=+=（II ）()1()10.80.2,P D P C =-=-=因为~(100,0.2)X B ，所以期望1000.220.EX =⨯=方法规律：随机变量如服从二点分布、二项分布、超几何分布，求其数学期望时可直接套用公式求解，回避繁琐的求分布列计算过程．变式训练：某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量X 表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望EX _____（结果用最简分数表示）.题型三 数学期望的实际应用例3 某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A 区投篮2次或选择在B 区投篮3次.在A 区每进一球得2分，不进球得0分；在B 区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出.已知参赛选手甲在A 区和B 区每次投篮进球的概率分别为910和13，如果选手甲以在A 、B 区投篮得分的期望高者为选择投篮区的标准，问选手甲应该选择哪个区投篮？思路导析：显然，选手甲投篮的进球数服从二项分布，从而可利用公式分别求出选手甲在两个区得分的期望，从而选择在那个区投篮．解：设选手甲在A 区投两次篮的进球数为X ，则)109,2(~B X ， 故992105EX =⨯=， 则选手甲在A 区投篮得分的期望为6.3592=⨯. 设选手甲在B 区投篮的进球数为Y ，则)31,3(~B Y ，故1313EY =⨯= ，则选手甲在B 区投篮得分的期望为313=⨯ .因为3.63>，所以选手甲应该选择A 区投篮.方法规律：数学期望反映了随机变量取值的平均水平，利用数学期望可以解决实际问题中质量的好坏、产量的高低等问题．变式训练：一软件开发商开发一种新的软件，投资50万元，开发成功的概率为0.9，若开发不成功，则只能收回10万元的资金，若开发成功，投放市场前，召开一次新闻发布会，召开一次新闻发布会不论是否成功都需要花费10万元，召开新闻发布会成功的概率为0.8，若发布成功则可以销售100万元，否则将起到负面作用只能销售60万元，而不召开新闻发布会则可以销售75万元.（1）求软件成功开发且成功在发布会上发布的概率. （2）求开发商盈利的最大期望值.四、随堂练习1．随机变量1~(2,)2X B ，则EX =( )． A ．３ B ．１ C ．3 D ．２2．已知随机变量ξ满足(1)0.3,(0)0.7P P ξξ====，则E ξ等于（ ）．A ．0.3B ．0.6C ．0.7D ．13.某陶瓷厂为了提高产品的质量，鼓励工人严把质量关，制定了奖惩规定：工人只要生产出一件甲级产品发奖金50元，生产出一件乙级产品发奖金30元，若生产出一件次品则扣奖金40元．某工人生产甲级品的概率为0.6，乙级品的概率为0.3，次品的概率为0.1，则此人生产一件产品的平均奖金为（ ）.A. 30元B. 35元C. 37元D. 42元 4.已知X 的分布列为则EX =____________．5．一种投骰子的游戏规则是：交一元钱可掷一次骰子，若骰子朝上的点数是1，则中奖4元；若点数是2或3，则中奖1元；若点数为4或5或6，则无奖，某人投掷一次，那么他赚钱金额的期望为 .6. 假定每人生日在各个月份的机会是相等的，求3个人中生日在第一季度的平均人数.五、课后作业1．设随机变量~(40,),16X B p EX p =且，则等于（ ）．A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.42.甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X 表示甲机床生产1000件产品中的次品数，Y 表示乙机床生产1000件产品中的次品数，经过一段时间的考查，X 、Y 的分布列分是据此判断A ．甲比乙质量好B ．乙比甲质量好C ．甲与乙质量相同D ．无法判定 3．考察一种耐高温材料的一个重要指标是看其是否能够承受600度的高温．现有一种这样的材料，已知其能够承受600度高温的概率是0.7，若令随机变量⎩⎨⎧=.6000,6001度高温，不能够承受度高温，能够承受X ，则X 的均值为____________．4．从编号为1，2，3，4，5的五个大小完全相同的小球中随机取出3个，用ξ表示其中编号为奇数的小球的个数，则E ξ= .5. 某城市有甲、乙、丙三个旅游景点，一位游客游览这三个景点的概率分别是0.4、0.5、0.6，且游客是否游览哪个景点互不影响，用X 表示该游客离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．求X 的分布列及均值.6.在某电视节目的一次有奖竞猜活动中，主持人准备了A 、B 两个相互独立的问题，并且宣布：幸运观众答对问题A 可获奖金1000元，答对问题B 可获奖金2000元，先答哪个题由观众自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二题，否则终止答题．若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A 、B 的概率分别为12、14． （Ⅰ）记先回答问题A 获得的奖金数为随机变量X ， 则X 的取值分别是多少？ （Ⅱ）你觉得应先回答哪个问题才能使你获得更多的奖金？请说明理由．参考答案2.3 第一课时 离散型随机变量的均值2．基础预探 1.1122i i n n x p x p x p x p +++++ 2.ｐ 3.np 4.nMN三、典例导析 例1 变式训练 答案：A解析：X 的可能取值为0，1，2 ，则111(0)339P X ==⨯=，21124(1)33339P X ==⨯+⨯= 224(2)339P X ==⨯=，所以14440129993EX =⨯+⨯+⨯=．例2 变式训练 答案：47解析：随机变量X 服从N=7，M=2，n=2的超几何分布，故EX =47nM N ==． 例3 变式训练解：（1）设A=“软件开发成功”，B=“新闻发布会召开成功” ，则“软件成功开发且成功在发布会上发布”的概率是P(AB)=P(A)P(B)=0.72.（2） 设不召开新闻发布会盈利为X ，则X 的可能取值为40-万元、25万元，故其盈利的期望值是40(10.9)(7550)0.918.5EX =-⨯-+-⨯=(万元)；开发成功且新闻发布会成功的概率为0.90.80.72⨯=，开发成功新闻发布会不成功的概率为0.90.20.18⨯=．设召开新闻发布会盈利为Y ，则Y 的可能取值40-万元、50万元、10万元、10-万元， 故其盈利的期望值 40(10.9)(10050)0.720.9(10.8)(6050)100.924.8EY =-⨯-+-⨯+⨯-⨯--⨯=（万元）．故开发商应该召开新闻发布会，且盈利的最大期望是24.8万元. 四、随堂练习 1．答案：B解析：因为1~(2,)2X B ，所以1212EX =⨯=． 2．答案：A解析： 根据题意随机变量ξ服从两点分布，所以0.3E ξ=． 3.答案：B解析: 500.6300.3(40)0.135E ξ=⨯+⨯+-⨯=.4.答案：3解析：10.120.2EX =⨯+⨯+30.440.250.13⨯+⨯+⨯=. 5．答案： 0解析: 设赚钱金额为X 元，则X 的可能取值为3，0，1-， 所以11130(1)0632EX =⨯+⨯+-⨯= 6.解：由题意知每人在第一季度的概率为41123=，又得3人中生日在第一季度的人数为ξ， 则ξ～B(3,41)，所以43413=⨯=ξE , 因此，第一季度的平均人数为43. 五、课后作业1．答案：D解析：因为()4016E X p =⨯=，所以0.4p =． 2.答案：A解析：因为 00.710.120.130.1EX =⨯+⨯+⨯+⨯=0.6； 00.510.320.2300.7EY =⨯+⨯+⨯+⨯=．所以EX EY <，说明平均来看，甲的次品数要少． 3．答案：0.7解析：依题意服从两点分布，其分布列为所以的均值是=0.7． 4．答案：95解析：随机变量ξ服从N=5，M=3，n=3的超几何分布，故95nM E N ξ==. 5.解析：分别记“客人游览甲景点”、“客人游览乙景点”、“客人游览丙景点”为事件321A A A 、、． 由已知可知321A A A 、、相互独立，4.0)(1=A P ，5.0)(2=A P ，6.0)(3=A P ．游客游览的景点数的可能取值为0，1，2，3，相应地，游客没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以X 的可能取值为1，3．则123123(3)()()P X P A A A P A A A ==+123123()()()()()()P A P A P A P A P A P A =+24.04.05.06.06.05.04.0=⨯⨯+⨯⨯=.76.024.01)1(=-==X P ．∴.6.解：（Ⅰ）随机变量X 的可能取值为0，1000，3000.（Ⅱ）设先答问题A 获得的奖金为X 元，先答问题B 获得的奖金为Y 元.则有11(0)122P X ==-=，113(1000)(1)248P X ==⨯-=，111(3000)248P X ==⨯=，所以， 13160000100030007502888EX =⨯+⨯+⨯==.同理：3(0)4P Y ==，1(2000)8P Y ==，1(3000)8P Y ==，所以，31150000200030006254888EY =⨯+⨯+⨯==. 故知先答问题A ，所获得的奖金期望较多.。