从a到a2l求积分 ,得到细杆对质点的
a2l kmM1
F a
2l x2dx
2020/12/21
| kmM (1)a2l kmM
2l
x a a(a 2l)
8
[例2] 细 杆 、 质 点1.同 质例 点 位 于 细
的 垂 直 平 分,距 线杆 上的 中 心 a. 为
求 细 杆 对 质 点 的 F. 引 力
b
M ydx
a
静力矩：
Mx
1
2
by2dx,
a
b
My
xydx
a
质心坐标：
b
xydx
x
a b
,
a ydx
2020/12/21
1 b y 2 dx
y 2
a b
a ydx
19
[例1] 求曲线y si nx在区间 [, 3]上的
2
部分与 x轴、直x线 3 所夹区域
2 图形的 重心.坐标
[解] y
x
a
x xdx b
功的微元 dW f(x)dx
b
W a f (x)dx
2020/12/21
12
[例3] 将例 2中的质点沿垂直由平距分杆线的 中心a为处移至距杆的b中 处.心求为克服 引力所做W 的. 功
[解] 分割区间 [a,b]
取小区[y间 , ydy],视为常力做功
功 的 微 元 dWFy(y)dy由例2知
4a [b (a2x2) (ba2x2)] a d
0
a2x2
8ab a dx
0 a2 x2
8ab arc | sxian42ab
2020/12/21
a0
6
二、物理应用
（一）引力问题
[例1] 设 有 一 均 匀 细,长杆为2l, 质 量 为M.另 有
一 质 量 为 m的 质 点, 位 于 细 杆 所 在 直,线
2020/12/21 质点 Ai对y轴的静力 mixi矩 14
n
质点x系 轴对 的静M 力 x矩mi： yi
i1
n
质点系 y轴对 的静M 力 y矩mi： xi
n
i1
质 点 系 总 质 M量 ： mi
i1
设质心为： (x, y)
由静力矩定律知 M xMy, M yMx
n
n
x
My
mi xi
i 1
2020/12/21
M
M
y
Mx
mi yi
i 1
M
M 15
2. 平面曲线的质心
设线密度 常数 (质量均匀)分布
分割弧长区间[0, L] y
任取一小区间
y
[l,l dl]
视为质点： (x, y)
A
dMdl o
2020/12/21
质量微元
•dl
B
x x
16
静力矩微元： dx M yd,ldy M xdl
[解]
y●b
向量加法 a• dF x
l
2020/12/21
dF y
dF
lx
o x xdx 9 13
设引F力 {Fx, Fy}
由 于 细 杆 均 ,质匀 点 关 于 细 杆 的有 位
对 称 性 , 故Fx 0, 只 须 求 Fy. 分 割区[间 l,l] 取小 [x,x区 d]x 视 ,间为 ,质 质 :量 M d 点 2l d F km x 2 ( M 2 la d 2) xk2 lm x 21 M a 2dx
W a bF y(y)d ykma bM yld 2yy2
kmM b2l2l
a2l2l
2020/12/21
[ln
l
b
ln a
]13 9
（三）静力矩和质心
1. 质点系的质心
y •A 3
•A n
•
yi
•
•
•A 1
o
•A i ( m i ) •A2
• •
x
xi
质 点 Ai 对x轴 的 静 m 力 iyi矩
于是得
Mx
Lydl
L
yd,l
0
0
My
Lxdl
L
xdl
0
0
M0Ldl0LdlL
质心坐标
2020/12/21
xMy
L
xdl
0
L
xdl
0
M L
L
yMx
L
ydl
0
L
ydl
0
M L
L
17
3. 平面薄板的质心
y
设面密度 常数
y f(x)
y
2
••
oa
x
xxdx b
2020/12/21
18
质量：
y
•
x
2020/12/21
24
M y3 2a3
(1co )s3co d s
0
3 2 a 30 (c o 3 cs2 o s 3 c3 o s c4 o )d s
5 a3
4
于是 x My 5a
M6
重心直角坐标
重心极坐标
5 (x a, y0) 6 2020/12/21
( 0, 5a)
625
y
[解] 上半圆方程 y1b a2x2
下半圆方程 y2b a2x2 b
y12y2 2y2a2x2x2
x
a o a
1y2 a
a2x2
2020/12/21
5
所求面积为上、绕 下x轴 半旋 圆转的
侧面积之 ,故和
S 2 S 1 40 a y 11 y 1 2 d x 40 a y 21 y 2 2 d
dFy dFcos
2020/12/21
kmMa 1
2l
(x2
a2)32
dx
10
Fyk2m l M ll(xa21a2)32dx
a
kmM l2 a2
F0,
kmM
a l2a2
引力大小F为 kmM a l2 a2
方向沿细杆的垂线直并平指分向细
2020/12/21
11
（二）变力做功问题
问:求 题物 xa 体 移x 从 到 b变f(力 x) 所做的功
清华大学微积分高等数学课件第讲定积分的应用二
圆 台 侧 [面 y(积 yd)y]dl 2ydldy dl
当 dx0时 , dyd l o(d)x, 略去 得侧面积微元：
dS 2ydl2y1y2dx
侧面积
2020/12/21
S2
b
y
1y2dx
a
4
[例8] 求圆 x2(yb)2a2绕x轴旋转所 旋转(环 体体 )的(表)面积 S. (0ab)
ysinx
3
o
2
x
2020/12/21
20
3
M 2sinxdx1 3
My 2x(sinx)dx
3 3
| xcoxs 2 2coxsdx1
Mx
1 2
32sin2 xdx1
4
3
2(1c
o2sx)dx
| 1(x1si2nx)32
42
8
2020/12/21
21
x My 1
M
y Mx
M8
重心坐标：
2020/12/21
( 1, )
8
22
[例 2]求 心 脏 a线 (1cos)所 围 区
图 形 的 重 . 心 坐 标
[解] 由对称性知 y 0
M21a2 (1co)s2d
20
4a2
c
o4sd
0
2
8a2
2co4stdt
3 a2
0
2020/12/21
2
23
x 2()cos
3
与杆的近端的距a离. 为 求细杆对质点
引力F. m
[解]
o•
M
x
a x xdx 2l a
两 质 点 之 间 的 引 力, 遵 2020/12/21 循 万 有 引 力 定 律
f
k
m1 m2 r2
7
分 割 区 [a,a间 2l] 取小 [x,x区 d]x 视 ,间为 ,质 质 :量 M d 点
2l d F km (x M 2 2 ld)x k2 lm x 1 2 M dx