第十三讲 不定积分（一）
一、原函数与不定积分概念 二、基本积分表 三、凑微分法
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一、原函数与不定积分概念
（1） 从运算与逆运算看
初等数学中加法与减法、乘法与除法、 乘方与开方等，都是互逆的运算。
微分运算是对一个可导函数求导数。 微分运算的逆运算是什麽？
问题：已知函数 f (x),要求这样一个函
F(x),使F(x)的导函数正f 是 (x).
这就是求原函数和不定积分的运算。
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（2） 从物理问题看
已知运动规 S律 S(t),要求瞬时速 v(t)?
求导数v： (t)S(t)
反问题: 已知瞬时速度 v(t),要求运动规律
S S(t) ? 求原函数: S(t), 使 S(t) v(t)
（b）原函数的结构问题
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[定理1] 若F(x)是f(x)在区I间 上的一个 原函,数则F(x)C 是f(x) 的全体 原函,数 其中 C为任意常 . 数
[证] （ 1）证 F(x明 )C是 f(x)在 I上的
一个原函数
[ F ( x ) C ] F ( x ) f ( x ) x I
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k1 f1(x)d xk2 f2(x)dx
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怎样计算不定积分？
不定积分计算的基本思想：
求不定积分是求导的逆运算
导数基本公式——积分基本公式
微分法——积分法
反想
逆运算
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二、基本积分表
(1) xdx x 1 C
1
(2)
1 dx ln x C x
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(1)6 dx arcx s iC n
a2x2
a
(1)7 dxln x (a 2x2)C
a 2x2
(1)8 x2da x22 1alnx x a aC
(1)9 se xc d lx n ta x n se x c C
[解] (1) 不是！
因为 g(x)在点 x0处不连续
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(2) 首先要f求 (x)的积分曲线族
分段积分，得 G(x)c12oxs2xCC21
x0 x0
若G(x)是f(x)在R上的原函数
G(x)在x0连续
x l 0 i G m (x ) x l 0 i G m (x ) G (0 ) C21C1
coxsC x0
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f(x)dx12x21C
x0
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coxsC 即yG(x) 1 2x21C
是f ( x)的积分曲线族
x0 x0
令 x0,G (0)1,得C0
coxs yF(x)12x21
x0 x0
是f(x)过(0, 1)点的积分曲线
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（三）不定积分的性质
coxsC x0
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G(x)12x21C
x0
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当 x 0 时 , G (x ) sixn
当 x0 时 , G (x)x
又G (0)x l i0m cox x s10
1x211 G(0)0
G(0)xl i0m 2 x
0
于 G ( x ) 在 是 ( , ) 上 ,且 可 G ( x ) f导 ( x )
2020/11/15 在区间 (1, 1)上的一个原. 函数 4
cR, (x3c)3x2 (x3c)也是 3x2在R上的原函 . 数
一个函数若存在一个原函数， 则它必有无穷多个原函数。
关于原函数有两个理论问题:
（a）原函数的存在问题
结论: 若函数f(x)在区间 I上连续 ,
则f(x)在区间 I上存在原函. 数
F(x)C是f(x)在I上的一个 原函数
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（2）证明f (x)在I 上的任意一个原函 都可以表示F(为 x)C的形式
设G(x)是f (x)在I上的任何一个原函
[G (x ) F (x )] G (x ) F (x ) f(x )f(x ) 0 x I
由拉格朗日中值定理的 推论知
（1） 不定积分与微分互为逆运算
(1) (f(x)d)xf(x)
d(f(x)d)xf(x)dx (2) f(x)d xf(x)C
d(fx)f(x)C
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（2） 线性运算性质
(3 )[f(x ) g (x )d ] x g (x ) d x g (x ) d
(4)k(fx)d xkf(x)dx 综合(3)(4) [k1f1(x)k2f2(x)d] x
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( 11 )
1
dx arcx siC n
1 x2
( 12 )
1 dx arcc x oCs
1 x2
( 13 )
1 1 x 2 dx
arctxa C n
( 14cox tC
(1)5 x2d a x2a 1arca x t aC n
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(1)
(3) sinxdx coxsC
(4) coxsdxsinxC
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(5) axdx 1 a x C
ln a
(6) exdxex C (7) se2cxdxtan xC
(8) cs2cxdxcoxtC
(9) shxdxchxC
(10) chxdxshxC
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积分变量
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积分曲线与积分曲线族
y
yF(x)
积分曲线
yF(x)C 积分曲线族
o
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x
x9
[例3] 设f(x) sxin x
x0 x0
cosxC g(x)12x2 C
x0 x0
(1) 问：g(x)是f(x)的不定积分吗？
(2) 求f(x)过(0, 1)点的积分曲. 线
G (x ) F (x ) C x I
即 G ( x ) F ( x ) C x I
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（二）不定积分的定义
设f(x)在区I间 上存在原F函 (x)数 ,
则其原函数的F全 (x)体 C 称为 f(x)
在区I间 上的不定.积分
记作:
积 分 号
被积函数
积
分
f(x)dx F(x)C常数
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（一）原函数的定义
设f (x)在区间I上有定义 .若另有一个 可导函数F(x), 使xI, 都有
F(x) f (x) 或 dF(x) f (x)dx 则称F(x)是f (x)在I上的一个原函. 数
[例1] F(x) x3 是f(x)3x2 在区间(, )上的一个原.函数
[例2] F(x)arcsixn是f(x) 1 1x2