ωn
1 − 2ξ 2
此时加速度响应出现最大振幅，加速度发生共振。 最大振幅为为：A = 课后推导ω2X的极值
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A0 2ξ 1 − ξ
2
A = ω2X
0 n
0
单自由度系统响应特征回顾
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课 件 仅 供 学 习 复 习 之 用 ， 请 勿 它 用
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机械系统动力学-振动控制技术及其应用
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引言
振动是一种普遍存在，日益受到人们关注的现象。 大多数振动有害 动态变形 振幅大 结构疲劳破坏、磨损缩短使用寿命， 降低功能、污染环境 损坏健康 动应力 交变 避免有害振动 设计阶段（CAD） 分析其动态性能 预估其动态响应——控制在允许范围内 针对具体工况——隔离、减振——抑制振动在许可范围内
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振源概述
机器设备中典型激振
课 1.
旋转质量不平衡
转子（旋转的部件）质量中心与其回转轴线不不重合， 产生惯性离心力，构成谐波激振。方向 离心 f (t ) me 2 or f (t) me 2 sin 离心力 m —— 转子质量 e —— 偏心距 w —— 转子的角速度 激振力
X = F0 k 1 (1 − λ 2 ) 2 + (2 ξλ ) 2
由于位移、速度和加速度的振幅X、ωX、 ω 2X 是随着频率比λ而变化的，因此:
复（1）
位移幅值X极值条件为:(可通过 1/X 极值条件求得)
d (1 X ) d = [(1 − λ2 )2 + (2ξλ)2 ] = 0 即 dλ dλ
位 移 速 度 加 速 度 的 幅 频 图
16 14 12 10 8 6 4 2 0
加速度A
速度V 位移X
0 1 2
ωn 1 − 2ξ
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2
ωn
3
4
ωn
1 − 2ξ
2Hale Waihona Puke ω5机械系统动力学--振动控制技术及其应用
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单自由度系统响应特征回顾
全响应分析
简谐激励下的响应 ：
x(t) = e
−ξωnt
单自由度系统响应特征回顾
单自由度强迫振动响应：
x(t) = e-ξωnt (x0 cosωdt + x0 + ξωn x0
ωd
sin ω dt) + X sin( ωt −ψ ) +
（强迫振动，稳态振动）
（自由振动，瞬态振动）
Xe-ξωnt [sin ψ cosωdt +
ωn (ξ sin ψ − λ cosψ ) sin ω t] d ωd
x
e ωt
k
c
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机械系统动力学--振动控制技术及其应用
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单自由度系统响应特征回顾
基础简谐激励下的受迫振动 在许多工程实际情况中,系统受到的激励 来自基础或支承的运动。例如： 车辆在不平路面上行驶时的车体振动； 车体振动引起车内仪表和电子设备的振动； 地震引起的建筑物振动。
稳态响应分析
jωt 用复数法求解x2：令 x2 (t ) = Im( Xe )
代入微分方程
mx+ cx+ kx = F0 sin ωt
得：
1 1 F0 F0 = X= 2 2 m ω n − ω + j2ξωnω k 1 − λ2 + j2ξλ F0 1 = e− jψ = Xe− jψ k (1 − λ2 )2 + (2ξλ)2
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单自由度系统响应特征回顾
线性系统稳态强迫响应的特点： （1）响应是频率等于激励频率， 相位滞后于激励力的简谐振动。 （2）响应的振幅及响应与驱动力的相位差 与m 、c、k、F0、ω有关，与初始条件无关。
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机械系统动力学--振动控制技术及其应用
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单自由度系统响应特征回顾
讨论 : 振幅放大因子 与 极值条件 振幅放大因子 频率比：
λ = 1 − 2ξ 2
2
此时位移响应出现最大振幅，位移发生共振。 位移共振频率为： ω = λωn = 1 − 2ξ 最大振幅为：
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ωn
X=
X0 2ξ 1 − ξ 2
X 0 = F0 k
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机械系统动力学--振动控制技术及其应用
单自由度系统响应特征回顾
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单自由度系统响应特征回顾
例题:
支承端的运动： xs = a sin ωt 求系统的微分方程及稳态解。
解： 系统的微分方 程为：
mx+c(x − xs) + k(x − xs ) = 0
（相对速度（）相对位移）
是相对地球坐标系的，但是求弹簧力和阻尼力必须用相对坐标。
路面不平对汽车悬挂激励 海浪 风力 地面传至机器设备的振动激励 判定主要激振源的方法 实测振动信号 分析其频率、幅值及特点
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机械系统动力学--振动控制技术及其应用
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隔振原理概述
课
基本原理
在振源和需要防振的机器或仪器之间放置具有弹性性能的 隔振装置 变刚性连接为弹性连接使振动能量被隔振装置吸收 防止和减弱能量的传播
(a1 cosωdt + a2 sin ωdt) + X sin( ωt +ψ )
初始条件： x(0) = x0 ， 得到：
x(0) = x0
a1 = x0 − X sinψ
a2 =
x0 + ξωn x0
ωd
ωn − X (ξ sin ψ + λ cosψ ) ωd
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机械系统动力学--振动控制技术及其应用
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单自由度系统响应特征回顾
* xs=asinωt 代入化简得到：
mx+cx+ kx = kasin ωt + caω cosωt
（激励力） 表明由于支承运动使质量受两部分激励力的作用： 一部分是通过弹簧传递过来的力 kxs，相位与xs相同；
(a1 cosωdt + a2 sin ωdt)
为对应齐次方程
mx+cx+ kx = 0
在欠阻尼情况下的解。
x2(t)
稳态响应（特解） x 2(t) = X sin( ωt +ψ )
为强迫振动下系统的特解。
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单自由度系统响应特征回顾
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隔振原理概述
（2）消极隔振
为降低周围振源对需要防振设备的影响，将设备与支撑隔离 开来，使设备的振动小于支撑的振动，称为消极隔振。
消极隔振典型的例子为精密机床或安装在机床上的精密仪表。 在机床和地基之间加上隔振器，使机床振动小于地基振动。
（2） 速度幅值ωX极值条件 同理可以求得，速度共振频率为：ω
=ω
n
此时速度响应出现最大振幅，速度发生共振。 最大振幅为为：V = V0 课后推导ωX的极值
2ξ
V0 = ωnX 0
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单自由度系统响应特征回顾
仅
（3） 加速度幅值ω 2X极值条件 加速度共振频率为： ω =
按隔振的目的分类：
积极隔振： 本身是振源，与支撑隔离，减少传至支撑的 力，并使本身振动减少。 消极隔振： 本身不是振源，减少支撑传给它的振动。
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隔振原理概述
（1）积极隔振
对本身是振源的设备，为降低它对周围其它设备的影响， 将它与支撑隔离开，减少它传给支撑的力，并使设备本身的振 动减少，称为积极隔振。 例如：在精密机床上，电机是振源，若直接刚性安装，电机 的振动和激振力全部传给机床。 通常在电机和机床间加入由弹簧和阻尼组成的隔振器，使 传到机床的力少于激振力。
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单自由度系统响应特征回顾
瞬态响应（即过渡阶段）时间的长短主要决定 于阻尼的大小。阻尼小时，瞬态振动衰减的时间 就长。瞬态振动结束后，系统只做稳态振动。 以下讨论阻尼比ξ＝0的情况。 当ξ＝0，则稳态响应初相ψ＝0，由全响应公式得：
F0 (sin ωt − λsin ωnt) x(t) = x0 cosωnt + sin ωnt + 2 k(1− λ ) ωn 当初始条件 x0 = 0, x0 = 0 时，有： F0 (sin ωt − λ sin ωnt) x(t) = 2 k(1− λ )
简谐激励的稳态速度响应为：
v2 (t) = ωX cos(ωt −ψ ) = ωX sin( ωt −ψ + ) 2
简谐激励的稳态加速度响应为：
π
π a2(t) = ω X cos(ωt −ψ + ) = ω2 X sin( ωt −ψ + π )
2
2
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机械系统动力学--振动控制技术及其应用
s，相位比xs超前 π 2。 另一部分由阻尼器传递过来的力 cx
mx+cx + kx = kasin ωt + caω cosωt = B sin( ωt + α)