贝塞尔函数的应用（11.13）
形如
222''()'()()()0x f x xf x x v f x ++-=
的二阶微分方程称为v 阶贝塞尔方程。

且
()()v f x J x =
是方程的一个解。

此外，当v 不是整数时，
()()v f x J x -=
是方程的一个与()v J x 线性无关的解，因此，此时贝塞尔方程的通解为
12()()()v v f x C J x C J x -=+
当v 是整数时，
()()v f x Y x =
是方程的一个与()v J x 线性无关的解，因此，此时贝塞尔方程的通解为
12()()()v v f x C J x C Y x =+
问题1：考虑极坐标下的二维波动方程
212()tt rr r u c u r u r u θθ--=++
(,,)0, (,,0)(,), (,,0)0t u b t u r f r u r θθθθ===
根据变量分离法，首先假设
(,,)()()()u r t R r T t θθ=Θ
代入原微分方程后可得
212()()''()''()()()'()()()()''()()R r T t c R r T t r R r T t r R r T t θθθθ--⎡⎤Θ=Θ+Θ+Θ⎣⎦
移项整理可得
1222''()''()()'()()()''()0()()()
T t R r r R r r R r c T t R r θθθμθ--Θ+Θ+Θ==-<Θ 因此
22''()()0T t c T t μ+=
同时
1222''()'()''()0()()
R r r R r r v R r θμθ--+Θ+=-=>Θ 因此
2''()()0v θθΘ+Θ=
2222''()'()()()0r R r rR r r v R r μ++-=
分别求解上述三个微分方程
对于方程2''()()0v θθΘ+Θ=，由于题目中没有给定θ的范围，因此
(,,)(,2,)u r t u r t θθπ=+
即
()(2)θθπΘ=Θ+
由于其通解为
012()(cos sin )
e C v C v θθθΘ=+
同时 1212(2)cos (2)sin (2)cos(2)sin(2)C v C v C v v C v v θπθπθπθπθπΘ+=+++=+++。