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七年级上册数学 平面图形的认识(一)单元培优测试卷

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选(难)1.(1)如图①,已知:Rt△ABC中,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥m于D,CE⊥m于E,求证:DE=BD+CE;(2)如图②,将(1)中的条件改为:△ABC中,AB=AC,并且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,α为任意锐角或钝角,请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请证明;若不成立,请说明理由;(3)应用:如图③,在△ABC中,∠BAC是钝角,AB=AC,∠BAD>∠CAE,∠BDA=∠AEC=∠BAC,直线m与BC的延长线交于点F,若BC=2CF,△ABC的面积是12,求△ABD与△CEF的面积之和.【答案】(1)证明:∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,∴∠BDA=∠CEA=90°,∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°,∵∠BAD+∠ABD=90°,∴∠CAE=∠ABD,在△ADB和△CEA中,∴△ADB≌△CEA(AAS),∴AE=BD,AD=CE,∴DE=AE+AD=BD+CE;(2)解:结论DE=BD+CE成立;理由如下:∵∠BDA=∠BAC=α,∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α,∴∠CAE=∠ABD,在△ADB和△CEA中,∴△ADB≌△CEA(AAS),∴AE=BD,AD=CE,∴DE=AE+AD=BD+CE;(3)解:∵∠BAD>∠CAE,∠BDA=∠AEC=∠BAC,∴∠CAE=∠ABD,在△ABD和△CEA中,∴△ABD≌△CEA(AAS),∴S△ABD=S△CEA,设△ABC的底边BC上的高为h,则△ACF的底边CF上的高为h,∴S△ABC= BC•h=12,S△ACF= CF•h,∵BC=2CF,∴S△ACF=6,∵S△ACF=S△CEF+S△CEA=S△CEF+S△ABD=6,∴△ABD与△CEF的面积之和为6.【解析】【分析】(1)根据BD⊥直线m,CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°,而∠BAC=90°,根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD,由AAS证得△ADB≌△CEA,则AE=BD,AD=CE,即可得出结论;(2)由∠BDA=∠BAC=α,则∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α,得出∠CAE=∠ABD,由AAS证得△ADB≌△CEA即可得出答案;(3)由∠BAD>∠CAE,∠BDA=∠AEC=∠BAC,∴∠CAE=∠ABD,得出∠CAE=∠ABD,由AAS证得△ADB≌△CEA,得出S△ABD=S△CEA,再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比,得出S△ACF即可得出结果.2.在数轴上、两点分别表示有理数和,我们用表示到之间的距离;例如表示7到3之间的距离.(1)当时,的值为________.(2)如何理解表示的含义?(3)若点、在0到3(含0和3)之间运动,求的最小值和最大值.【答案】(1)5或-3(2)解:∵ = ,∴表示到-2的距离(3)解:∵点、在0到3(含0和3)之间运动,∴0≤a≤3, 0≤b≤3,当时, =0+2=2,此时值最小,故最小值为2;当时, =2+5=7,此时值最大,故最大值为7【解析】【解答】(1)∵,∴a=5或-3;故答案为:5或-3;【分析】(1)此题就是求表示数a的点与表示数1的点之间的距离是4,根据表示数a的点在表示数1的点的右边与左边两种情况考虑即可得出答案;(2)此题就是求表示数b的点与表示数-2的点之间的距离;(3)此题就是求表示数a的点与表示数2的点之间的距离及表示数b的点与表示数-2的点之间的距离和,而0≤a≤3, 0≤b≤3, 借助数轴当时,的值最小;当时,的值最大.3.如图1,直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F,∠1与∠2互补.(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系,并说明理由;(2)如图2,∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P,EP与CD交于点G,点H是MN上一点,且GH⊥EG,求证:PF∥GH;(3)如图3,在(2)的条件下,连接PH,K是GH上一点使∠PHK=∠HPK,作PQ平分∠EPK,问∠HPQ的大小是否发生变化?若不变,请求出其值;若变化,说明理由.【答案】(1)解:AB∥CD.理由如下:如图1,∵∠1与∠2互补,∴∠1+∠2=180°.又∵∠1=∠AEF,∠2=∠CFE,∴∠AEF+∠CFE=180°,∴AB∥CD;(2)证明:如图2,由(1)知,AB∥CD,∴∠BEF+∠EFD=180°.又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P,∴∠FEP+∠EFP= (∠BEF+∠EFD)=90°,∴∠EPF=90°,即EG⊥PF.∵GH⊥EG,∴PF∥G H;(3)解:∠HPQ的大小不发生变化,理由如下:如图3,∵∠1=∠2,∴∠3=2∠2.又∵GH⊥EG,∴∠4=90°-∠3=90°-2∠2.∴∠EPK=180°-∠4=90°+2∠2.∵PQ平分∠EPK,∴∠QPK= ∠EPK=45°+∠2.∴∠HPQ=∠QPK-∠2=45°,∴∠HPQ的大小不发生变化,一直是45°.【解析】【分析】(1)利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF、∠CFE互补,所以易证AB∥CD;(2)利用(1)中平行线的性质推知°;然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF=90°,即EG⊥PF,故结合已知条件GH⊥EG,易证PF∥GH;(3)利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠4=90°-∠3=90°-2∠2;然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK= ∠EPK=45°+∠2;最后根据图形中的角与角间的和差关系求得∠HPQ的大小不变,是定值45°.4.已知如图,∠COD=90°,直线AB与OC交于点B,与OD交于点A,射线OE与射线AF交于点G.(1)若OE平分∠BOA,AF平分∠BAD,∠OBA=42°,则∠OGA=________;(2)若∠GOA= ∠BOA,∠GAD= ∠BAD,∠OBA=42°,则∠OGA=________;(3)将(2)中的“∠OBA=42°”改为“∠OBA= ”,其它条件不变,求∠OGA的度数.(用含的代数式表示)(4)若OE将∠BOA分成1︰2两部分,AF平分∠BAD,∠ABO= (30°< α <90°),求∠OGA的度数.(用含的代数式表示)【答案】(1)21°(2)14°(3)解:∵∠BOA=90°,∠OBA=α,∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=90°+α,∵∠BOA=90°,∠GOA= ∠BOA,∠GAD= ∠BAD∴∠GAD=30°+ α,∠EOA=30°,∴∠OGA=∠GAD−∠EOA= α.(4)解:当∠EOD:∠COE=1:2时,∴∠EOD=30°,∵∠BAD=∠ABO+∠BOA=α+90°,∵AF平分∠BAD,∴∠FAD= ∠BAD,∵∠FAD=∠EOD+∠OGA,∴2×30°+2∠OGA=α+90°,∴∠OGA= α+15°;当∠EOD:∠COE=2:1时,则∠EOD=60°,同理得到∠OGA= α−15°,即∠OGA的度数为α+15°或α−15°.【解析】解:(1)∵∠BOA=90°,∠OBA=42°,∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=132°,∵AF平分∠BAD,OE平分∠BOA,∠BOA=90°,∴∠GAD= ∠BAD=66°,∠EOA= ∠BOA=45°,∴∠OGA=∠GAD−∠EOA=66°−45°=21°;故答案为21°;⑵∵∠BOA=90°,∠OBA=42°,∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=132°,∵∠BOA=90°,∠GOA= ∠BOA,∠GAD= ∠BAD,∴∠GAD=44°,∠EOA=30°,∴∠OGA=∠GAD−∠EOA=44°−30°=14°;故答案为14°;【分析】(1)根据三角形外角的性质求出∠BAD,求出∠GOA和∠GAD,根据三角形外角性质求出即可;(2)根据三角形外角的性质求出∠BAD,求出∠GOA和∠GAD,根据三角形外角性质求出即可;(3)根据三角形外角的性质求出∠BAD,求出∠GOA和∠GAD,根据三角形外角性质求出即可;(4)讨论:当∠EOD:∠COE=1:2时,利用∠BAD=∠ABO+∠BOA=α+90°,∠FAD=∠EOD+∠OGA得到2×30°+2∠OGA=α+90°,则∠OGA= α+15°;当∠EOD:∠COE=2:1时,则∠EOD=60°,同理得∠OGA= α-15°.5.如图1,点O是弹力墙MN上一点,魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转,当转到ON位置时,则从ON位置弹回,继续向OM位置旋转;当转到OM位置时,再从OM的位置弹回,继续转向ON位置,…,如此反复.按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转:第1步,从OA0(OA0在OM上)开始旋转α至OA1;第2步,从OA1开始继续旋转2α至OA2;第3步,从OA2开始继续旋转3α至OA3,∁….例如:当α=30°时,OA1, OA2, OA3, OA4的位置如图2所示,其中OA3恰好落在ON 上,∠A3OA4=120°;当α=20°时,OA1, OA2, OA3, OA4, OA3的位置如图3所示,其中第4步旋转到ON后弹回,即∠A3ON+∠NOA4=80°,而OA3恰好与OA2重合.解决如下问题:(1)若α=35°,在图4中借助量角器画出OA2,OA3,其中∠A3OA2的度数是________;(2)若α<30°,且OA4所在的射线平分∠A2OA3,在如图5中画出OA1,OA2,OA3, OA4并求出α的值;(3)若α<36°,且∠A2OA4=20°,则对应的α值是________(4)(选做题)当OA i所在的射线是∠A i OA k(i,j,k是正整数,且OA j与OA k不重合)的平分线时,旋转停止,请探究:试问对于任意角α(α的度数为正整数,且α=180°),旋转是否可以停止?写出你的探究思路.【答案】(1)45°(2)解:如图所示.∵α<30°,∴∠A0OA3<180°,4α<180°.∵OA4平分∠A2OA3,∴2(180°﹣6α)+ =4α,解得:(3),,(4)解:对于角α=120°不能停止.理由如下:无论a为多少度,旋转过若干次后,一定会出现OA i是∠A i OA K是的角平分线,所以旋转会停止.但特殊的,当a为120°时,第一次旋转120°,∠MOA1=120°,第二次旋转240°时,与OM 重合,第三次旋转360°,又与OM重合,第四次旋转480°时,又与OA1重合,…依此类推,旋转的终边只会出现“与OM重合”或“与OA1重合”两种情况,不会出第三条射线,所以不会出现OA i是∠A i OA K是的角平分线这种情况,旋转不会停止【解析】【解答】解:(1)解:如图所示.aφ=45°,【分析】(1)根据题意,明确每次旋转的角度,计算即可;(2)根据各角的度数,找出等量关系式,列出方程,求出α的度数即可;(3)类比第(2)小题的算法,分三种情况讨论,求出α的度数即可;(4)无论a为多少度,旋转很多次,总会出一次OA i是∠A i OA K是的角平分线,但当a=120度时,只有两条射线,不会出现OA i是∠A i OA K是的角平分线,所以旋转会中止.6.已知,AB//CD,(1)如图,若E 为DC 延长线上一点,AF、CG 分别为∠BAC、∠ACE 的平分线.(1)求证:AF//CG.(2)若 E 为线段 DC 上一点(E 不与 C 重合),AF、CG 分别为∠BAC、∠ACE的平分线,画出图形,试判断 AF,CG 的位置关系,并证明你的结论.【答案】(1)证明:∵AB//CD∴∠BAC=∠ACE,∵AF、CG 分别为∠BAC、∠ACE的平分线,∴∠CAF= ∠BAC, ∠ACG= ∠ACE,∴∠CAF=∠ACG∴AF//CG.(2)解:AF⊥CG,理由如下:如图,AF、CG 分别为∠BAC、∠ACE的平分线,∴∠1= ∠BAC,∠2= ∠ACD,∵AB//CD,∴∠BAC+∠ACD=180°,∴∠1+∠2= ∠BAC+ ∠ACD= (∠BAC+∠ACD)=90°,∴∠3=180°-(∠1+∠2)=90°,∴AF⊥CG.【解析】【分析】(1)根据二直线平行,内错角相等得出∠BAC=∠ACE,根据角平分线的定义得出∠CAF=∠ACG ,进而根据内错角相等,二直线平行得出AF∥CG;(2)根据题意作出图形,根据角平分线的定义得出∠1= ∠BAC,∠2= ∠ACD, 根据二直线平行,同旁内角互补得出∠BAC+∠ACD=180°,从而即可得出∠1+∠2= 90°,根据三角形的内角和定理得出∠3=90°,进而根据垂直的定义得出AF⊥CG.7.如图,四边形ABCD的内角∠DCB与外角∠ABE的平分线相交于点F.(1)若BF∥CD,∠ABC=80°,求∠DCB的度数;(2)已知四边形ABCD中,∠A=105º,∠D=125º,求∠F的度数;(3)猜想∠F、∠A、∠D之间的数量关系,并说明理由.【答案】(1)解:∵∠ABC=80°,∴∠ABE=180°-∠ABC=100°,∵BF平分∠ABE,∴∠EBF= ∠ABE=50°,∵BF∥CD∴∠BCD=∠EBF=50°(2)解:∵∠FBE是△EBC的外角,∴∠F=∠EBF-∠ECF∵BF平分∠ABE、CF平分∠BCD,∴∠EBF= ∠ABE=,∠ECF= ∠BCD,∵∠ABE=180°-∠ABC,∴∠F= (180°-∠ABC)- ∠BCD= [180°-(∠ABC+∠BCD)],∵在四边形ABCD中,∠ABC+∠BCD=360°-∠A-∠D,∴∠F= [180°-(360°-∠A-∠D)],∴∠F= (∠A+∠D-180°),∵∠A=105º,∠D=125º,∴∠F= (105º +125º -180°)=25°(3)解:结论:∠F= (∠A+∠D-180°)理由如下:∵∠FBE是△EBC的外角,∴∠F=∠EBF-∠ECF∵BF平分∠ABE、CF平分∠BCD,∴∠EBF= ∠ABE=,∠ECF= ∠BCD,∵∠ABE=180°-∠ABC,∴∠F= (180°-∠ABC)- ∠BCD= [180°-(∠ABC+∠BCD)],∵在四边形ABCD中,∠ABC+∠BCD=360°-∠A-∠D,∴∠F= [180°-(360°-∠A-∠D)],∴∠F= (∠A+∠D-180°)【解析】【分析】(1)由角平分线的性质和邻补角的定义可得:∠FBE=∠FBA= ∠ABE=(180°-∠ABC);由平行线的性质可得∠BCD=∠FBE可求解;(2)由平行线的性质可得:∠ABC+∠A=180°;∠BCD+∠D=180°;由已知条件可得:∠ABC=180°-∠A;∠BCD=180°-∠D;由角平分线的性质和邻补角的定义可得:∠FBE=∠FBA= ∠ABE=(180°-∠ABC);∠BCF=∠BCD,由三角形外角的性质可得∠FBE=∠F+∠BCF,于是∠F=∠FBE-∠BCF,把求得的∠FBE和∠BCF的度数代入计算即可求解;(3)结合(1)和(2)的结论可求解:∠F=(∠A+∠D-180°)。

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