模块质量检测(一)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设U ＝R ，A ＝{x|x>0}，B ＝{x|x>1}，则A ∩∁U B ＝( ) A{x|0≤x<1} B ．{x|0<x ≤1} C ．{x|x<0} D ．{x|x>1}【解析】 ∁U B ＝{x|x ≤1}，∴A ∩∁U B ＝{x|0<x ≤1}．故选B. 【答案】 B2．若函数y ＝f(x)是函数y ＝a x (a>0，且a ≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )A ．log 2x B.12x C ．log 12x D ．2x －2【解析】 f(x)＝log a x ，∵f(2)＝1， ∴log a 2＝1，∴a ＝2. ∴f(x)＝log 2x ，故选A. 【答案】 A3．下列函数中，与函数y ＝1x 有相同定义域的是( )A ．f(x)＝ln xB ．f(x)＝1x C ．f(x)＝|x| D ．f(x)＝e x 【解析】 ∵y ＝1x的定义域为(0，＋∞)．故选A. 【答案】 A4．已知函数f(x)满足：当x ≥4时，f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；当x<4时，f(x)＝f(x ＋1)．则f(3)＝( )A.18 B ．8 C.116 D ．16【解析】 f(3)＝f(4)＝(12)4＝116. 【答案】 C5．函数y ＝－x 2＋8x －16在区间[3,5]上( ) A ．没有零点 B ．有一个零点 C ．有两个零点 D ．有无数个零点 【解析】 ∵y ＝－x 2＋8x －16＝－(x －4)2， ∴函数在[3,5]上只有一个零点4. 【答案】 B6．函数y ＝log 12(x 2＋6x ＋13)的值域是( ) A ．R B ．[8，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．[－3，＋∞) 【解析】 设u ＝x 2＋6x ＋13 ＝(x ＋3)2＋4≥4y ＝log 12u 在[4，＋∞)上是减函数，∴y ≤log 124＝－2，∴函数值域为(－∞，－2]，故选C. 【答案】 C7．定义在R 上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是( )A ．y=x2+1B ．y ＝|x|＋1C ．y ＝⎩⎨⎧ 2x ＋1，x ≥0x 3＋1，x<0D ．y ＝⎩⎨⎧e x ，x ≥0e －x ，x<0【解析】 ∵f(x)为偶函数，由图象知f(x)在(－2,0)上为减函数，而y ＝x 3＋1在(－∞，0)上为增函数．故选C.【答案】 C8．设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2) C(2,3) D ．(3,4)【解析】 由函数图象知，故选B.【答案】 B9．函数f(x)＝x 2＋(3a ＋1)x ＋2a 在(－∞，4)上为减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－3B ．a ≤3C ．a ≤5D ．a ＝－3【解析】 函数f(x)的对称轴为x ＝－3a ＋12， 要使函数在(－∞，4)上为减函数， 只须使(－∞，4)⊆(－∞，－3a ＋12) 即－3a ＋12≥4，∴a ≤－3，故选A. 【答案】 A10．某新品牌电视投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销售400台，第4个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销量y 与投放市场的月数x 之间的关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100 【解析】 对C ，当x ＝1时，y ＝100； 当x ＝2时，y ＝200； 当x ＝3时，y ＝400；当x ＝4时，y ＝800，与第4个月销售790台比较接近．故选C. 【答案】 C11．设log 32＝a ，则log 38－2 log 36可表示为( ) A ．a －2 B ．3a －(1＋a)2 C ．5a －2 D ．1＋3a －a 2【解析】 log 38－2log 36＝log 323－2log 3(2×3) ＝3log 32－2(log 32＋log 33) ＝3a －2(a ＋1)＝a －2.故选A. 【答案】 A12．已知f(x)是偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数．若f(lg x)>f(1)，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，110∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫110，10 D ．(0,1)∪(10，＋∞) 【解析】 由已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上递减， 则f(x)在(－∞，0)上递增，∴f(lg x)>f(1)⇔0≤lg x<1，或⎩⎨⎧lg x<0－lg x<1⇔1≤x<10，或⎩⎨⎧0<x<1lg x>－1⇔1≤x<10，或110<x<1⇔110<x<10，∴x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫110，10.故选C.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知全集U ＝{2,3，a 2－a －1}，A ＝{2,3}，若∁U A ＝{1}，则实数a 的值是________．【答案】 －1或214．已知集合A ＝{x|log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a)，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.【解析】 A ＝{x|0<x ≤4}，B ＝(－∞，a)．若A ⊆B ，则a>4，即a 的取值范围为(4，＋∞)，∴c ＝4.【答案】 415．函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2－2x 的单调递减区间是________．【解析】 该函数是复合函数，可利用判断复合函数单调性的方法来求解，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23u 是关于u 的减函数，所以内函数u ＝x 2－2x 的递增区间就是函数f(x)的递减区间．令u ＝x 2－2x ，其递增区间为[1，＋∞)，根据函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23u是定义域上的减函数知，函数f(x)的减区间就是[1，＋∞)．【答案】 [1，＋∞) 16．有下列四个命题： ①函数f(x)＝|x||x －2|为偶函数； ②函数y ＝x －1的值域为{y|y ≥0}；③已知集合A ＝{－1,3}，B ＝{x|ax －1＝0，a ∈R }，若A ∪B ＝A ，则a 的取值集合为{－1，13}；④集合A ＝{非负实数}，B ＝{实数}，对应法则f ：“求平方根”，则f 是A 到B 的映射．你认为正确命题的序号为：________.【解析】 函数f(x)＝|x||x －2|的定义域为(－∞，2)∪ (2，＋∞)，它关于坐标原点不对称，所以函数f(x)＝|x||x －2|既不是奇函数也不是偶函数，即命题①不正确；函数y ＝x －1的定义域为{x|x ≥1}，当x ≥1时，y ≥0，即命题②正确； 因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，若B ＝Ø，满足B ⊆A ，这时a ＝0；若B ≠Ø，由B ⊆A ，得a ＝－1或a ＝13.因此，满足题设的实数a 的取值集合为{－1,0，13}，即命题③不正确；依据映射的定义知，命题④正确．【答案】 ②④三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x 2－3x －10的两个零点为x 1，x 2(x 1<x 2)，设A ＝{x|x ≤x 1，或x ≥x 2}，B ＝{x|2m －1<x<3m ＋2}，且A ∩B ＝Ø，求实数m 的取值范围．【解析】 A ＝{x|x ≤－2，或x ≥5}．要使A ∩B ＝Ø，必有⎩⎨⎧2m －1≥－2，3m ＋2≤5，3m ＋2>2m －1，或3m ＋2<2m －1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－12，m ≤1，m>－3，或m<－3，即－12≤m ≤1，或m<－3.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数． 【解析】 (1)当a ＝－1时，f(x)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]． 由于f(x)的对称轴为x ＝1，结合图象知， 当x ＝1时，f(x)的最小值为1， 当x ＝－5时，f(x)的最大值为37.(2)函数f(x)＝(x ＋a)2＋2－a 2的图象的对称轴为x ＝－a ， ∵f(x)在区间[－5,5]上是单调函数， ∴－a ≤－5或－a ≥5.故a 的取值范围是a ≤－5或a ≥5.19．(本小题满分12分)(1)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫27912＋(lg5)0＋(2764)－13；(2)解方程：log 3(6x －9)＝3. 【解析】 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25912＋(lg5)0＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫343－13 ＝53＋1＋43＝4.(2)由方程log 3(6x －9)＝3得6x －9＝33＝27，∴6x ＝36＝62，∴x ＝2. 经检验，x ＝2是原方程的解．20．(本小题满分12分)有一批影碟机(VCD)原销售价为每台800元，在甲、乙两家商场均有销售，甲商场用下面的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？【解析】 设购买x 台，甲、乙两商场的差价为y ，则去甲商场购买共花费(800－20x)x ，由题意800－20x ≥440.∴1≤x ≤18(x ∈N )．去乙商场花费800×75%x(x ∈N *)． ∴当1≤x ≤18(x ∈N *)时y ＝(800－20x)x －600x ＝200x －20x 2， 当x>18(x ∈N *)时，y ＝440x －600x ＝－160x ， 则当y>0时，1≤x ≤10； 当y ＝0时，x ＝10； 当y<0时，x>10(x ∈N )．综上可知，若买少于10台，去乙商场花费较少；若买10台，甲、乙商场花费相同；若买超过10台，则去甲商场花费较少．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lg(1＋x)－lg(1－x)． (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性；【解析】 (1)由⎩⎨⎧1＋x>0，1－x>0，得－1<x<1，∴函数f(x)的定义域为(－1,1)．(2)定义域关于原点对称，对于任意的x ∈(－1,1)，有－x ∈(－1,1)，f(－x)＝lg(1－x)－lg(1＋x)＝－f(x) ∴f(x)为奇函数．22．(本小题满分14分)设a>0，f(x)＝e x a ＋ae x 是R 上的偶函数． (1)求a 的值；(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．【解析】 (1)解：∵f(x)＝e x a ＋ae x 是R 上的偶函数， ∴f(x)－f(－x)＝0. ∴e x a ＋a e x －e －x a －ae－x ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a e －x＝0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a (e x －e －x)＝0. 由于e x －e －x 不可能恒为0， ∴当1a －a ＝0时，式子恒成立．又a>0，∴a ＝1.(2)证明：∵由(1)知f(x)＝e x ＋1e x ， 在(0，＋∞)上任取x 1<x 2. f(x 1)－f(x 2)＝ex 1＋1ex 1－ex 2－1ex 2＝(ex 1－ex 2)＋(ex 2－ex 1)·1ex 1＋x 2.∵e>1，∴0<ex 1<ex 2，ex 1·ex 2>1， ∴ex 1＋x 2>1，(ex 1－ex 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1ex 1＋x 2<0， ∴f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．。