2013年普通高等学校招生全国统一模拟考试数学（理工农医类）
注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。

[来
第Ⅰ卷
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分
1、已知集合
2
=-+=∈
{|210,}
P x x x x R
，则集合
P
的子集个数是
二、 A．1 B．2 C．4 D．8
2、已知函数
，下面结论错误的是
A.函数
的最小正周期为
B.函数
在区间
上是增函数
C.函数
的图像关于直线
对称 D.函数
是奇函数
三、
3、已知函数
f x
()
的定义域为[0，1?，则函数
-
f x
(1)
的定义域为
A．
[0,1)
B．
(0,1]
C．
-
[1,1]
D．
-
[1,0)(0,1]
4、函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是
（A）
（B）
（C）
（D）
5、在
ΔABC
中，
、、
a b c
分别是三内角
、、
A B C
所对边的长，若
b a C
sin A sin,
则
ΔABC
的形状
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
6、将函数
的图像上所有的点向右平行移动
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是
w_w w. k#s5_u.c o*m
（A）
（B）
w_w_w.k*s 5*u.c o*m
（C）
（D）
7、如图，在半径为3的球面上有
三点，
，球心
到平面
的距离是
，则
两点的球面距离是
A.
B.
C.
D.
8、已知直线
和直线
，抛物线
上一动点
到直线
和直线
的距离之和的最小值是
A.2
B.3
C.
D.
9、设定义在
上的函数
满足
，若
，则
( )
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
10、已知抛物线
的焦点为
，准线与
轴的交点为
，点
在
上且
，则
的面积为( )
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
11、过双曲线
22
221(0)y x b a a b -=>>
的左焦点
(,0)(0)F c c ->
作圆
222
x y a +=
的切线，切点为 E ,延长
FE
交抛物线
24y cs =
于点 P ⋅
若
1
()
2OE OF OP =+
，则双曲线的离心率为
A ．
33+
B ．
15+
C ．
5
D ．
13+
12、设
，则
的最小值是
w_w w. k#s5_u.c o*m
（A）2 （B）4 （C）
（D）5
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
13．
展开式中
的系数为_____________。

14．已知直线
与圆
，
则
上各点到
的距离的最小值为_______。

15、若关于
x
的方程
232
-=-
x x m
在[0，2]上有两个不同
实数解，则实数
m
的取值范围是__________________.
16、已知空间向量
=∈≤=
OA(1,,0)(),|OA| 3.OB(3,1,0),
k k Z O 为坐标原点，给出以下结论：①以
、
OA OB
为邻边的平行四边形
OACB
中，当且仅当
k=
时，
||
OC
取得最小值；②当
k=
2
时，到
A
和点
B
等距离的动点
P x y z
(,,)
的轨迹方程为
--=
x y
4250
，其轨迹是一条直线；③若
(0,0,1),
OP=
则三棱锥
-
O ABP
体积的最大值为
7
6
；④若
OP
=（0，0，1），则三棱锥
-
O ABP
各个面都为直角三角形的概率为
2
5
.
其中，所有正确结论的番号应是_____________________.
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.
17
、
（Ⅰ）
证明两角和的余弦公式
；
由
推导两角和的正弦公式
（Ⅱ）已知△ABC的面积
，且
，求cosC. （本小题满分12分）
18、（本小题满分13分）已知
是函数
的一个极值点。

（本小题满分13分）
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）求函数
的单调区间；
（Ⅲ）若直线
与函数
的图象有3个交点，求
的取值范围。

19、
在平面直角坐标系
xOy
中，
RtΔABC
的斜边
BC
恰在
x
轴上，点
(2,0),(2,0)
B C
，且
AD
为
BC
边上的高.
（本小题满分12分）
（I）求
AD
中点
G
的轨迹方程；
（Ⅱ）若一直线与（I）中
G
的轨迹交于两不同点
、
M N
，且线段
MN
恰以点
11,4⎛⎫- ⎪⎝
⎭ 为中点，求直线 MN
的方程；
（Ⅲ）若过点（1，0）的直线
l
与（I ）中
G
的轨迹交于两不同点
,P Q 、
试问在
x
轴上是否存在定点
(.0)E m
，使
PE QE ⋅
恒为定值 λ ？若存在，求出点
E
的坐标及实数
λ
的值；若不存在，请说明理由.
20、（本小题满分13分）已知数列
{}
n a
中，
1228,39a a ==
，且当
2,n n N ≥∈
时，
1134,.
n n a a a +-=-
（I ）求数列
{}
n a
的通项公式；
（Ⅱ）记
123,n
n ai a a a a n N *
=⋅⋅⋅⋅∈i=1
Ⅱ…
（1）求极限
12lim (2)
i n
n a -→∞-i=1
Ⅱ
；
（2）对一切正整数 n
，若不等式
1()
n
i i a N λλ*>∈=1
Ⅱ
恒成立，求 λ
的最小值.
21、（本小题满分12分）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为
，购买乙种商品的概率为
，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。

（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（Ⅲ）记
表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求
的分布列及期望。

22、（本小题满分12分）
w_w w. k#s5_u.c o*m
已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，点M是棱AA'的中点，点O是对角线BD'的中点.
（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA'和BD'的公垂线；
（Ⅱ）求二面角M－BC′－B′的大小；
（Ⅲ）求三棱锥M－OBC的体积.。