大一微积分练习题及答案《微积分（1）》练习题一． 单项选择题1．设()0x f '存在，则下列等式成立的有（ ）A ． ()()()0000lim x f xx f x x f x '=∆-∆-→∆ B ．()()()0000limx f x x f x x f x '-=∆-∆-→∆ C ．()()()00002limx f hx f h x f h '=-+→D ．()()()0000212limx f h x f h x f h '=-+→2．下列极限不存在的有（ ） A ．201sin lim x x x → B ．12lim2+-+∞→x x x xC ．xx e1lim → D ．()xx xx +-∞→632213lim3．设)(x f 的一个原函数是xe 2-，则=)(xf （ ）A ．xe 22-- B ．x e 2- C ．xe 24-D ．xxe 22--4．函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为（ ）间断点。
A ．跳跃间断点；B ．无穷间断点；C ．可去间断点；D ．振荡间断点5． 设函数()x f 在[]b a ,上有定义，在()b a ,内可导，则下列结论成立的有（ ）A ． 当()()0<b f a f 时，至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0=ξf ；B ． 对任何()b a ,∈ξ，有()()[]0lim =-→ξξf x f x ；C ． 当()()b f a f =时，至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0='ξf ；D ．至少存在一点()b a ,∈ξ，使()()()()a b f a f b f -'=-ξ；6． 已知()x f 的导数在a x =处连续，若()1lim -=-'→ax x f ax ，则下列结论成立的有（ ）A ．a x =是()x f 的极小值点；B ．a x =是()x f 的极大值点；C ．()()a f a ,是曲线()x f y =的拐点；D ．a x =不是()x f 的极值点，()()a f a ,也不是曲线()x f y =的拐点； 二． 填空：1．设⎪⎭⎫ ⎝⎛=xf y 1arcsin ，f 可微，则()='x y2．若32325-+-=x x x y ，则()=6y3．过原点()1,0作曲线x e y 2=的切线，则切线方程为4．曲线()2142-+=xx y 的水平渐近线方程为 铅垂渐近线方程为 5．设x x f +='1)(ln ，则()='x f ()=x f三． 计算题：（1）321lim 221-+-→x x x x （2）32lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x（3）xx x x 3sin )1ln(lim 20+→ （4）()[]221ln x y -= 求dy（5）053=-+x y exy求=x dxdy四． 试确定a ，b ，使函数()()⎩⎨⎧<-≥+++=0,10,2sin 1x e x a x b x f ax 在0=x 处连续且可导。
五． 试证明不等式：当1>x 时，()e xe 21e x e x x+<<⋅六． 设()()()()a x ax a f x f x F >--=,，其中()x f 在[)+∞,a 上连续，()x f ''在()+∞,a 内存在且大于零，求证()x F 在()+∞,a 内单调递增。
《微积分》练习题参考答案七． 单项选择题1．（ B ）2．（ C ）3．（ A ）4．（ C ） 5．（ B ）6．（ B ）八． 填空：（每小题3分，共15分） 1． ⎪⎭⎫ ⎝⎛'--x f x x 1arcsin 1122． ()06=y 3． 12+=x y 4． 2-=y ， 0=x5． ()x e x f +='1，()ce x xf x ++=三,计算题：（1）321lim 221-+-→x x x x （2）32lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛-x x x x21222lim 321lim1221=+=-+-→→x x x x x x x ()262lim 3223)21(lim 2lim -+-+⎪⎭⎫⎝⎛-•-∞→+∞→==-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→e e xx x x x x x x x x x x （3）xx x x 3sin )1ln(lim 20+→ （4）()[]221ln x y -= 求dy313lim 3sin )1ln(lim 2020=⋅=+→→x x x x x x x x ()[]()()[]dx x x dx x x dy 2121ln 4221121ln 2---=-⋅-⋅-= （5）053=-+x y exy求=x dxdy()xyxyxy xe y ye y y y y x y e +-='⇒=-'+'+2235053又10-=⇒=y x235102=+-='-===y x xyxy x xe y ye y（九． 试确定a ，b ，使函数()()⎩⎨⎧<-≥+++=0,10,2sin 1x e x a x b x f ax 在0=x 处连续且可导。
（8分）解：()()[]22sin 1lim 000++=+++=++→b a a x b f x()[]01lim 000=-=--→ax x e f ， 函数()x f 在0=x 处连续()()0000-=+f f2=++b a ，（1）()()[][]b xa b a x b f x =++-+++='+→+22sin 1lim 00()[]axe x b a ef ax x ax x =-=++--='→→--1lim 21lim 000函数()x f 在0=x 处可导()()00-+'='f f ，故ba =（2）由（1）（2）知1-==b a十． 试证明不等式：当1>x 时，()e xe 21ex e x x+<<⋅ （8分）证：（法一）设()te tf =[]x t ,1∈ 则由拉格朗日中值定理有()()()111-<-=-<-x e x e e e x e x x ξ()x ,1∈ξ整理得：()e xe 21ex e x x+<<⋅法二：设()exex f x-=()()10>>-='x e e x f x 故()exex f x-=在1>x 时，为增函数，()()01=>-=f ex e x f x ，即exex>设()()e xe ex f xx+-=21()()()()1012121><-=+-='x x e xe e e x f x x x x 故()()e xe e xf xx +-=21在1>x 时，为减函数，()()()0121=<+-=f xe e e x f x xx ，即()e xe 21ex x+<综上，()e xe 21e x e x x+<<⋅十一． 设()()()()a x ax a f x f x F >--=，其中()x f 在[)+∞,a 上连续，()x f ''在()+∞,a 内存在且大于零，求证()x F 在()+∞,a 内单调递增。
（5分） 证：()()()()()()2)(a x a f x f a x x f x F ----'='()()()()()x a a x a x f a x x f <<--'--'=ξξ2)(()()a x f x f -'-'=ξ()()()x ax x f <<>--''=ηξξη0故()x F 在()+∞,a 内单调递增。