中南大学考试试卷(B)
2008--2009学年第二学期 时间110分钟
复变函数与积分变换课程40学时2.5学分 考试形式：闭卷 专业年级：教改信息班 总分100分，占总评成绩70 %
注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上 一、单项选择题（15分，每小题3分）
1． 设()2
,0
0,0z z f z z z ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩
，则()f z 的连续点集合为（ ）。
（A ）单连通区域 （B ）多连通区域 （C ）开集非区域 （D ）闭集非闭区域 2． 设()(,)(,)f z u x y iv x y =+，那么(,)u x y 与(,)v x y 在点()00,x y 可微是()f z 在点
000z x iy =+可微的（ ）。
()()()()A B C D 充分但非必要条件必要但非充分条件
充分必要条件既非充分也非必要条件
3． 下列命题中，不正确的是（ ）。
()()()()()()()()()0Res ,0
Im 1.
z z A f z f z B f z D z f z D C e i
D z e i
ωπω∞∞=-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数,则在内解析.幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆
4． 设c 是()1z i t =+，t 从1到2的线段，则arg d c
z z ⎰（ ）。
()
()
()()
()114
4
4
A B i
C i
D i π
π
π
++
5． 设()f z 在01z <<内解析且()0
lim 1z zf z →=，那么()()
Res ,0f z =（ ）。
()()()()2211A i B i C D ππ--
二、填空题（15分，每空3分） 1．()Ln 1i -的主值为 。
2．函数()()Re Im f z z z z ()=+仅在点z = 处可导。
3．罗朗级数的()()1
1211133n
n
n
n n n z z ∞
∞
==⎛⎫
⎛⎫-+-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑收敛域为 。
4． 映射1
w z
=，将圆域11z -<映射为 。
5．
1
1
cos z dz z ==⎰ 。
三．(10分)求解析函数f z u iv ()=+，已知2
2
,()1u x y xy f i i =-+=-+。
四．(20分)求下列积分的值 1．
()
2
2
4
1z z e dz z
z =-⎰
2．
()2
sin 0x x
dx a x a
+∞
>+⎰
五．(15分)若函数()z ϕ在点0z 解析，试分析在下列情形： 1．0z 为函数()f z 的m 阶零点； 2．0z 为函数()f z 的m 阶极点；
求()()()0Res ,f z z z f z ϕ⎡⎤
'⎢⎥⎣⎦。
六．（15分）写出函数2
cos z
e z
的幂级数展开式至含项为止，并指出其收敛范围。
七．（10分）求函数()()()13sin 2f t tu t t t δ=++-+傅氏变换。
中南大学考试试卷答案(B)
2008--2009学年第二学期 时间110分钟
复变函数与积分变换 课程40学时2.5学分 考试形式：闭卷 专业年级：教改信息班0701 总分100分，占总评成绩70 %
注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上 三、单项选择题（15分，每小题3分） 1．A 。
2． B 。
3． A 。
4． C 。
5．C 。
四、填空题（15分，每空3分） 1
．4
i π。
2． i - 。
3． 233z <-<。
4． 半平面()1
Re 2
w >
R 。
5．0。
三．(10分)解:容易验证u 是全平面的调和函数。
利用C-R 条件，先求出v 的两个偏导数。
()()()
()
()(),0,00
222,2(,)22211
222
x y x
y v u v u y x x y x y y x v x y y x dx x y dy C
x dx x y dy C x xy y C
∂∂∂∂=-=-==+∂∂∂∂=-+++=-+++=-+++⎰
⎰⎰则
四．(20分)求下列积分的值 1．()23e i π-
2．这里m=2，n=1，m-n=1，R(z)在实轴上无孤立奇点，因而所求的积分是存在的
22
e d 2πRes[()e ,]ix iz
x x i R z ai x a +∞
-∞
=+⎰
e
2lim
2ππ2
iz a
a
z ia ze i i ie z ia π--→==⋅=+
22220
sin 11d Im().22
ix
a x x x x e dx e x a x a π+∞
+∞--∞==++⎰
⎰因此
五．(15分)
()()()()()()()
()
()()()()()()00000000000!
(1)0,n n
m
z z z z z z z z z z z n z f z m z f z z z z z z z z ϕϕϕϕϕψψψ'=+-+
+
-+
=-≠解:函数在点解析等价于在的一个邻域内
为的阶零点等价于在的一个邻域内其中在点解析,于是在的去心领域
()()()()()()()()()()()()()()()()()
()()()()()1001000000!,Res ,2Res ,n n f z m z z m z m z z z z m z z z f z z z z z z n z f z z z m z f z f z z z m z f z ϕψϕϕψϕϕϕψψϕϕϕϕ∞-=⎧⎫'''⎪⎪
=+=+-+⎨⎬
--⎪⎪⎩⎭⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦⎡⎤
'=-⎢⎥⎣
⎦∑由此可知与上面类似六．
()()()()2
22
2
2422422012211,cos 2
11
,.1,
222!!111cos 12!4!2!
cos 2cos ,z z n n
n z
z n e z R z e z z z z n z z z z z n e c c z c z z z
e z z c c π
πππ+±<=+++++<∞-=-++
++<∞⎛⎫=+++< ⎪
⎝
⎭=函数距原点最近的奇点其距离就是函数在幂级数展开式的收敛半径,
即=收敛范围为由及幂级数的除法,可设
注意到与均为偶函数,其展开式中不含
项可知()()()2
32422
2420202424
11
1
11112!
!
2!4!2!
329
1,,,
2243291cos 224
2n
n n z z z z c c z z z z n n c c c e z z z z π==⎛⎫-+++
++=++
⨯-+++
+
⎪ ⎪⎝
⎭
===⎛
⎫=+++< ⎪
⎝
⎭于是比较同次系数得故
七．（10分）
证明：()[1]2πδω=F 2
1
[()]()tu t i πδωω
'=-
+F
()3[3]i t e ωδ--=F ()()[sin 2]22t i πδωδω=+--⎡⎤⎣⎦F
从而()()()()32
1
[]2()22i f t e i ωπδωπδωδωδωω
-'=-+++++--⎡⎤⎣⎦F。