•四边形问题化归为三角形问题；圆、相似三 角形问题化归为基本图形；
化归思想对中学数学教学的指导意义 •正是由于化归思想方法在数学中的普遍意义， 所以在中学数学教学中，化归思想方法在许多 学段甚至整门课程中常常是作为一种指导思想 贯穿于教学全过程和教材始终，起统摄全局的 作用。例如，
•对于解方程的问题，一般方法总是考虑将 分式方程化归为整式方程、无理方程化归 为有理方程、超越方程化归为代数方程， 而解整式方程又常常是将方程化为，因此 教材组织这段内容的次序是： 整式方程（低次→高次）→分式方程→无 理方程→超越方程；
推演 求解
原问题A获解证 还原 问题B的解
（解释）
•所以化归应包括三个基本要素，即化归 对象、化归目标和化归途径(或化归策略)。
• 匈牙利著名数学家路莎· 彼得（RozsaPeter）在
她的名著《无穷的玩艺》一书中曾对“化归方法” 作过生动而有趣的描述：
如上所述的推理过程，对于数学家的思维 过程来说是很典型的，他们往往不对问题进 行正面的攻击，而是不断地将它变形，直至 把它转化为已经能够解决的问题。当然，从 陈旧的实用观点来看，以下的一个比拟也许 是十分可笑的，但这一比拟在数学家中却是 广为流传的；
成等差数列，
由条件 a b b c 0
1 1 1 1 所以， a b b c a b bc
1 1 1 A( , a), B( , b), C ( , c) a b c
即表明 三点共线，
1 y 上， x
注意到这三点都在双曲线
直线与双曲线最多只有两个交点，所以必有两 个点重合，则与公差不为零矛盾，故a,b,c的倒 数不可能成等差数列。
•霍布斯的“思维即计算”重要思想，
他认为可以把推理看成是词语和符号的 加减。他写到：“借推理我意谓计算。计算 或者是汇聚那被加在一起的许多事物的总和， 或者是知道当一事物从另一事物被取走，什 么仍然存留。因而推理同于相加和相 减。……如经常可能的那样，以致所有的推 理都可理解为这两种心智的运算，即相加和 相减。” 从历史的角度看，霍布斯的这一思想对于 后来的数理逻辑的发展是具有重大的启示意 义的。
另外，从更一般的角度来说，又可考虑： “你知道一个相关的问题吗？ 你能设想出一个相关的问题吗？ 你知道或你能设想出一个同一类型的问题、 一个类似的问题、一个更一般的问题、 一个更特殊的问题吗？”。
•化归在中学中的例子
• 有理数的四则运算。有理数的四则运算应 包含两部分，即绝对值的计算与符号的确定。 而在确定了符号之后，就只需对有理数的绝 对值进行运算，这样就把有理数的运算问题 化归为小学里的算术数的运算问题。
•处理立体几何问题时，一般可考虑把空间问 题化归到某一平面上（这个平面一般是几何体 的某一个面或某一辅助平面），再用平面几何 的结论和方法去解决；
•在解析几何中，其基本的方法是通过建立恰 当的坐标系，把几何问题化归为代数问题去 处理。
x 1 x 4x 8
2 2
5、标准形式化原则 三个基本特征：（1）研究的简便性，（2） 广泛的代表性，（3）具有本原性，即最基本 的形态。 例如，设函数f(x)满足
x1 x2 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 2 f ( )f( ), f ( 2 ) 0, x1 , x2 R 2 2
化归的一些例子
•笛卡尔的“万能方法”（一般模式）： 第一，把任何问题化归为数学问题；第二，把 任何数学问题化归为代数问题；第三，把任何 代数问题化归为方程式的求解。 由于求解方程问题是已经解决或较为容易 解决的，因此，在笛卡尔看来，就可利用上 述方法解决任何类型的问题，故称其为“万 能方法”。 不容置疑，他所阐述的上述化归原则事实上
2、通过特殊化或一般化实现化归 3、通过“同构”映射实现化归 4、通过适当变换实现化归
5、通过重新表征问题实现化归 6、通过“反面思考”实现化归
P286
四、关系映射反演方法
关系、映射、反演方法是化归一个特例， 即RMI方法。 •人们进行庞大数字的乘法、除法、乘方、 开方等数值运算时，往往应用对数方法。 •对数是英国数学家纳皮尔（Napier）于16世纪末 首先发明的，另一位英国数学家布立格斯于1624 年发表第一张常用对数表，这样，就可利用对数 通过映射与反演形成了一套简化计算量的数值计 算方法——对数计算法。
•无理方程的解法。解无理方程通常是通过 两边平方或换元的方法去除根号，从而使 之化归为有理方程，再解这个有理方程获 得原方程的解。
•二次曲线的图象和性质。对于非标准形式的 二次曲线，研究它的方法是，通过坐标平移、 旋转公式，将其化为标准形式的二次曲线来 进行研究。
二、化归的一般原则
1、简单化原则
他确信这样的回答是正确的，但是更完善 的回答应该是这样的： “只有物理学家才会按照刚才所说的办法 去做，而数学家却会回答：只须把水壶中的 水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了。”
从这段话可以看出，化归方法已经成为 了数学家们最典型的思维模式了。
•事实上，数学证明一般要归结为某些中间定理 上去，即实质上也是一种化归过程。 这正如英国著名数学家哈代（HardyG.H） 所说：“严格说来，没有所谓证明这个东西， 归根结底，我们只是指指点点。” 也就是说，数学证明只能是指出待证问题可 以归入哪个问题的证明或由哪些已证定理或成 果来证明，而不可能老老实实从公理、公设、 定义出发进行逻辑推理来证明。如果那样的话， 仅勾股定理若要从希尔伯特的几何公理系统出 发证明，就得需要几十页的篇幅。
变换问题结构，使之变得表现形式上简 单或处理方式上简便。 如解无理方程：
f ( x) g ( x)
2
f ( x) g ( x) 转化为求解： f ( x) 0 g ( x) 0
2、熟悉化原则 波利亚在“怎样解题表”中非常看重这 一转化方向。
例如，求圆的半径、弦心距或弦长的问题 可以转化为已知的直角三角形勾股定理求 三角形边长的问题。
6、低层次化原则 即，高维空间转化为低维空间问题；高次数 转化为低次数问题；多元转化为少元问题。
三、化归的基本策略途径
1、通过语义转换实现化归
例：已知三个正数a,b,c构成等差数列，且公差 不为零，证明它们的倒数组成的数列不可能成 等差数列。
1 1 1 , , 分析：假设 a b c 1 1 1 1 则， a b b c
3、和谐统一性原则 • 如分式（数）的加减运算要统一为同分 母的分式（数）相加减； • 不同次的根式的乘除运算要统一为同次 的根式相乘除； • 不同底的对数式运算通过换底公式统一 为同底的对数来运算； • 不同名的三角函数运算换成同名三角函 数；
4、具体化原则 指化归的方向一般由抽象到具体。 例如，求函数 y 的最小值。 分析：化归为求点P( x,0) 到点 A(0, 1) 和点 B(2, 2) 的距离之和的最小值。
•对数计算法的创立在历史发展中具有重要的意 义。对此，拉普拉斯曾形象地描述到：“对数计 算通过缩短计算的时间，而延长了天文学家的生 命。”伽利略甚至还说：“给我空间、时间及对 数，我即可创造一个宇宙。”
•RMI方法的提出者徐利治先生曾用日常生活中的 一个典型事例，对此形象地进行了阐述： 比如说，一个人对着镜子剃胡子，镜子里照出他 脸颊上胡子的映象，从胡子到映象的关系就是映射。 作为原象的胡子与剃刀两者的关系可以叫做原象关 系，这种原象关系在镜子里表现为映象关系。他从 镜子里看到这种映象关系后，便能调整剃刀的映象 与胡子的映象的位臵关系，使镜子里的剃刀映象去 触及胡子映象。于是，他也就真正修剃了胡子。这 里显然用到了反演规则，因为，他正是根据镜子里 的映象能对应地反演为原象的这一原理，使剃刀准 确地修剃了真实的胡子（原象）。
一、化归方法的基本思想
•所谓“化归”，从字面上看，可理解为转化 和归结的意思。
•数学方法论中所论及的化归方法，是指数学 中把待解决或未解决的问题，通过转化过程， 归结到一类已经能解决或者比较容易解决的 问题中去，最终求获原问题之解答的一种手 段和方法。
•化归方法用框图可直观表示为：
转化 待解决的问题A （化归途径） 易（已）解决的问题B
•其RMI原理框图可概括如下
•在这个例子中，映射的运用是别开生面的：不 是直接求原象关系——繁复的计算问题，而是 先求其在某种映射下的映象——对数关系问题。 显然，这里映射方法的选取是非常成功的。 •纳皮尔的贡献就在于他看透了指数运算与真 数运算的对应法则（映射与反演的关系）， 把后者的计算任务转化为前者的计算任务， 即把乘法和除法运算转化为加法和减法运算， 把乘方和开方运算转化为乘法和除法运算， 从而大大地提高了计算效率。

第五章第四节
数学化归方法 ——数学解题的一般方法
P278
•如果你解不出某道题，那肯定是有一个 更容易的问题你尚未解决——找到它！
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Ｇ．波利亞
•解题就是把雅诺夫斯卡娅
• 化归方法的基本思想 •������ 化归的一般原则 •������ 化归的基本策略途径 • 关系映射反演方法 • 化归思想方法教育
•美国著名的数学家、数学教育家G•波利亚在 《数学的发现》一书中给出了下述解决问题 的方法： 在面临所要解决的问题时，我们应当考虑： “这是什么类型的问题？它与某个已知的问 题有关吗？它象某个已知的问题吗？” 具体地说，我们可以从所要追求的具体 目标（未知元素、待证命题）出发来进行 考虑：“这里所谓的关键事实是什么？有 一个具有同样类型未知量的问题吗（特别 是过去解过的问题）？有一个具有同样结 论的定理吗（特别是过去证明过的定
RózsaPéter（February 17, 1905 -February 16, 1977）
“现有煤气灶、水龙头、水壶和火柴摆在你面 前，当你要烧水时，你应当怎样去做呢？” “往水壶里注满水，点燃煤气，然后把水壶 放在煤气灶上” “你对问题的回答是正确的。现把所说的问 题稍作修改，即假使水壶里已经装满了水，而 所说问题中的其他情况都不变，试问，此时你 应该怎样去做？” 此时被问者一定会大声而颇有把握地说： “点燃煤气，再把水壶放上去。”