双线性变换法设计IIR数字滤波器一：实验目的1）熟悉用双线性变换法设计IIR数字滤波器的原理和方法。

2）掌握数字滤波器设计的计算机仿真方法。

3）观察对心电图信号的实际滤波作用，获得数字滤波器的感性认识。

二：实验原理在滤波器的设计过程中，毕竟那是一个重要环节，所谓逼进就是根据性能指标的要求，对理想特性进行逼进，以求得一个因果、稳定且客户实现的传递函数。

目前模拟滤波器的频域设计理论已经发展的相当成熟，它不仅具有简单而严格的设计公式，而且设计参数已经表格化了。

借助模拟滤波器的逼进方法，用模拟与大树自语的某种变换，完成数字滤波器的逼进，这是一类简单而又行之有效的方法。

双线性变换法采用非线性频率压缩方法，将整个频域轴上的频率范围压缩到-π/T~π/T之间，再用z=e sT转换到z平面上。

也就是说，第一步现将整个S平面压缩映射到S1平面的-π/T~π/T一条横带里；第二步再通过标准变换关系1e S T将此横带变换到整个z平面上去。

这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的胆汁关系，消除了多只变换性，也就消除了频谱混跌现象，映射关系如图所示。

为了将S 平面的整个虚轴j Ω压缩到1S 平面轴上的-π/T 到π/T 段上，可以通过以上的正切的变换实现Ω=2/Ttan(1ΩT/2)（1-1）式中，T 仍是采样间隔。

当1Ω由-π/T 经过0变化到π/T 时，Ω由-∞经过0变化到+∞，也即映射了整个j Ω轴。

将上式（1-1）写成111122222T Tj j T T j j e e j T e e ΩΩΩΩ--Ω=•+ （1-2）将此关系解析延拓到整个S 平面和1S 平面，令j Ω=s, 1j Ω=S 1,则得111221tan()21e s Ts TS T e T T --==•+(1-3)再将S 1平面通过以下标准变换关系映射到Z 平面：z=S1T e （1-4）从而得到S 平面和Z 平面的单值映射关系为;11211ZS T Z ---=+(1-5) 122122T T S S Z T TS S ++==--(1-6)式（1-5）和式（1-6）是S 平面与Z 平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此成为双线性变换。

依靠双线性变换是建立起来s 平面和z 平面的单值映射关系，由上式我们可以得到模拟频率Ω和数字频率ω之间的关系：2tan()2T ωΩ= （1-7）从上式可知，当Ω→∞时，ω终止在折叠频率ω=π处，整个j Ω轴是单值地对应于单位元的一周。

因此双线性变换法不同于脉冲响应不变法，它不存在频率混淆问题。

由于S 平面的左半平面映射到Z 平面的单位圆内，S 平面的右半平面映射到Z 平面的单位圆外，S 平面的虚轴映射到Z 平面的单位圆上。

因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得到的数字滤波器也一定是稳定的。

但是，它的频率变换关系是非线性畸变。

这种非线性即便可以通过预畸变来校正。

用双线性变换设计数字滤波器时，一般总是先将数字滤波器的各临界频率经式（1-7）的频率预畸变，求得相应参考模拟滤波器的各临界频率，然后设计参考模拟滤波器的传递函数，最后通过双线性变换公式球的数字滤波器的传递函数。

这样通过双线性变换，正好将这些频率点映射到我们所需要的位置上。

下面我们走即利用模拟滤波器设计IIR 数字低通滤波器的步骤。

a)确定数字低通滤波器的技术指标：同代截止频率p ω、同代衰减p α、阻带截止频率ω、阻带衰减s α。

b)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。

采用双线性变换法，便捷频率的转换关系为2tan()2T ωΩ=c)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。

d ）将模拟滤波器系统函数Ha(S)从s 平面转换到z 平面，得到数字低通滤波器系统反函数Ha(z)。

H(z)=Ha （S ）|1111Z S Z ---=+三：实验内容： 1）用双线性变换法设计巴特沃斯IIR 数字滤波器。

设计指标为：通带内频率低于0.2π时，最大衰减小于1dB ；在阻带[0.3π，π]频带区间上，最小衰减小于15dB 。

2）以0.02π为采样间隔，绘出数字滤波器在频率区间[0，π/2]上的幅度响应特性曲线。

3）用所设计的滤波器对实际心电图信号采样序列进行仿真滤波处理，并分别会出滤波前后的波形图，观察总结滤波作用与效果。

实际心电图信号采样样本x(n)序列为[-4,-2,0,-4,-6,-4,-2,-4,-6,-6,-4,-4,-6,-6,-2,6,12,8,0,-16,-38,-60,-84,-90,-66,-32,-4,-2,-4,8,12,12,10,6,6,6,4,0,0,0,0,0,-2,-4,0,0,0,-2,-2,0,0,-2,-2,-2,-2,0,0]四：试验步骤1）复习有关巴特沃斯模拟滤波器内容和用双线性变换法设计IIR数字滤波器内容。

2）编制滤波器仿真程序，计算H(z)对心电图采样序列的相应序列y(n).3）运行程序，并绘出图形，完成实验内容2）和3）。

五：实验程序x=[-4,-2,0,-4,-6,-4,-2,-4,-6,-6,-4,-4,-6,-6,-2,6,12,8,...0,-16,-38,-60,-84,-90,-66,-32,-4,-2,-4,8,12,12,10,6,6,6,...4,0,0,0,0,0,-2,-4,0,0,0,-2,-2,0,0,-2,-2,-2,-2,0,0];k=1;close all;figure(1)subplot(3,3,1)n=0:56;stem(n,x,'.');axis([0 56 -100 50]);hold on;n=0:60;m=zeros(61);ylabel('x(n)');title('心电图信号采样序列x(n)');B=[0.09036 2*0.09036 0.09036];A=[1.2686 -0.7051];plot(n,m);xlabel('n');A1=[1.0106 -0.3583];A2=[0.9044 -0.2155];while(k<=3)y=filter(B,A,x);x=y;if k==2A=A1;endif k==3A=A2;endk=k+1;endsubplot(3,3,2)n=0:56;stem(n,y,'.');axis([0 56 -15 5]);hold on;n=0:60;m=zeros(61);plot(n,m);xlabel('n');ylabel('y(n)');title('双线性变换法设计IIR滤波后的心电图信号');%双线性变换法设计ButterWorth数字滤波器幅频特性A=[0.09036,0.1872,0.09036];B1=[1,-1.2686,0.7051];B2=[1,-1.0106,0.3583];B3=[1,-0.9044,0.2155];[H1,w]=freqz(A,B1,100);%数字滤波器频率响应[H2,w]=freqz(A,B2,100);[H3,w]=freqz(A,B3,100);H4=H1.*(H2);H=H4.*(H3);mag=abs(H);db=20*log10((mag+eps)/max(mag));subplot(3,3,5)plot(w/pi,db);axis([0,0.5,-50,10]);xla bel('w/π');ylabel('20lg|H(ejw|');title('双线性变换法设计IIR滤波器的幅频响应曲线');%脉冲响应不变法设计ButterWorth数字滤波器幅频特性C1=[0.2871 -0.4466];C2=[-2.1428 1.1454];C3=[1.8558 -0.6304];D1=[1 -0.1297 0.6949];D2=[1 -1.0691 0.3699];D3=[1 -0.9972 0.2570];[E1,w]=freqz(C1,D1,100);[E2,w]=freqz(C2,D2,100);[E3,w]=freqz(C3,D3,100);E4=E1+E2;E=E4+E3;mag=abs(E);db=20*log10((mag+eps)/max(mag));subplot(3,3,6)plot(w/pi,db);axis([0,0.5,-50,10]);xlabel('w/π');ylabel('20lg|H(ejw|');title('脉冲响应不变法滤波器的幅频响应曲线');1）确定滤波阶段函数buttord格式：[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)其中N：满足指标的最低滤波器阶数Wn:巴特沃斯自然频率Rp:同代最大衰减Rs:阻带最小衰减Wp、Ws归一化的通带和阻带边缘频率。

一如：低通：Wp=.1, Ws=.2高通：Wp=.2 Ws=.1带通:Wp=[.2.7],Ws=[.1.8]带阻：Wp=[.1.8],Ws=[.2.7]2)确定地同模拟滤波器原函数buttap格式：[Z,P,K]=buttap(N)其中N:满足指标的最低滤波器阶数Z:N 阶归一化原型巴特沃斯模拟低通滤波器的零点 P:N 阶归一化原型巴特沃斯模拟低通滤波器的极点 K:N 阶归一化原型巴特沃斯模拟低通滤波器的增益 3)双线性变换函数billinear格式：[NUMd,DENd]=bilinear(NUM,DEN,Fs)其中NUM:s 域转移函数分子系数按幂递减方式排列的行向列 DEN: s 域转移函数分母系数按幂递减方式排列的行向列 Fs:采样频率NUMd:z 域转移函数分子系数按幂递减方式排列的行向列 DENd:z 域转移函数分母系数按幂递减方式排列的行向列 4)滤波函数filter 格式y=filter(b,a,x)参数：a=[012a ...M a a a ]:滤波器系数 b=[012...N b b b b ]:滤波器系数 x=输入序列矢量 y=为滤波器后的输出 及滤波器的洗漱函数： H(z)=标准形式中0a =1，若输入滤波器系数a 中0a 0，系数给出出错是信息。

4） 绘制幅频特性曲线函数freqz六：思考题1.双线性变换法和脉冲响应相比较，有哪些优点和缺点？为什么？答：双线性变换法的优点是不同于脉冲响应不变法，s平面z平面是单值的一一对应关系，不存在频谱混淆的问题，数字频域和模拟频域的频率不是线性关系。

这种非线性关系式的通带截止频率、过渡带的边缘频率的相对应位置都发生了非线性畸变。