解： 已求得支座反力为
P=50KN
mA
q 20KN m
RA=81KN RB=29KN
A EC D
mA=96.5KN.m
1 0.5 1
3
RA
将梁分为AE，EC，
CD，DK，KB五段。
M=5KN.m
K
B
1
RB
剪力图 AE段：水平直线
QA右= QE左 = RA = 81KN
P=50KN
mA
q 20KN m
4.72
RA 1 P 2
A C
23.6
+
P 3 RB
B D
1.7
27
+
例题 一简支梁受均布荷载作用，其集度 q=100KN/m , 如图 a 所示。试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图。
解：计算梁的支反力
RA RB 0 51001 6 80KN
q

将梁分为 AC、CD、DB三段
解：求梁的支反力。由平衡
方程 mB=0 和 mA=0
得
RA 23.6KΝ
RB 27 KN
将梁分为AC，CD，DB三段。 每一段均属无外力段。
RA P
A C
P
RB
B D
200
115
1265
剪力图 每段梁的剪力图均为水平直线 AC段：Q1 = RA =23.6KN CD段：Q2= RA-P = -1.7KN DB段：Q3 =- RB = - 27KN

q

在AC段中 Qc = 80KN，剪力图
A
B
CE
D
为矩形，MA =0
0.2
1.6
1
2
M C M A acQ( x)dx M A Q AC 0 80 0.2 16KN m
80KN
(b)
+
80KN
QB QA abq( x)dx M B M A abQ( x)dx
RA
P1 2KN
m 10KN .m
q 1KN m
A
cF
D
RB
P2 2KN BE
4m
4m
4m
3m
6
-
6
+
16 20 20.5
分布荷载集度，剪力和弯矩之间的积分关系
dQ(x) q(x) dx
若在 x=a 和 x=b 处两个横截面A，B间无集中力则
abdQ( x) abq( x)dx
31KN
+
KB段：向下倾斜的直线
M B左 m 5KN m
M B右 0
M=5KN.m
K
B
1 RB
x
29KN
M A右 96.5KN m
DB：( )
7KN
4m
4m
M D右 7P2 4RB 6
3KN
M B 3P2 6
+
1KN
BE：() M E 0
F
-
X =5m
3KN
RB
P2 2KN
BE 3m
2KN
+
MA0
M c 20
M D左 16
M max M F 20.5 M D右 6 M B 6 ME 0
P=50KN
mA
q 20KN m
A EC D
M=5KN.m
K
B
1 0.5 1
3
RA
1
RB
Qx RB qx 0
x
81KN
x RB 1.45m q
31KN
+
29KN
弯矩图 AE，EC，CD梁段均 为向下倾斜的直线 M A右 mA 96.5KN m
P=50KN
MA0
M C RA 200 4 72KN m
M D RB 115 311KN m
MB 0
最大弯矩发生在 C 截面
M max 4 72KN m
4.72
+
单位：KN.m
对图形进行校核
在集中力作用的 C，D 两点 剪力图发生突变，突变值
P=25.3KN 。 而弯矩图 有尖角。在AC段剪力为正值 。 在CD和DB段，剪力为负值 。 最大弯矩发生在剪力改变处， 负号的C点截面处。说明剪 力图和弯矩图是正确的。

1
A C
0.2
1
q
E
1.6 2

2
B D
全梁的最大弯矩梁跨中E 点的横截面上。
M max 48KN m
+
单位：KN.m
例 作梁的内力图
RA
P1 2KN
m 10KN .m
q 1KN m
A
c
D
RB
P2 2KN BE
4m
4m
4m
3m
解：支座反力为
RA 7KN RB 5KN
A
B
CE
D
。AC和DB上无荷载，CD段 0.2
1.6
有向下的均布荷载。
1 2
剪力图
AC段：水平直线 Q1 = RA = 80 KN
CD段： 向右下方的斜直线
QC RA 80KN
QD RB 80KN DB段：水平直线
QB左 RB 80KN QB右 0 最大剪力发生在 CD 和 DB
式中，MA，MB分别为在 x=a , x=b 处两个横截面 A 及 B上的 弯矩。等号右边积分的几何意义是A，B两个横截面间剪力图 的面积。
例题 计算 下图中的梁 C、 E 两横截面上的
剪力和弯矩。
解： 在AC段中 q=0 ，且 QA=RA
QB QA abq( x)dx
M B M A abQ( x)dx
y
m
n
m
n
q(x)
x dx
Pm x
m
Q(x)
M(x)
n
M(x)+dM(x)
C
m
q(x)
n Q(x)+dQ(x)
写出平衡方程
Y= 0 Q(x) - [Q(x)+dQ(x)] + q(x)dx = 0
得到
dQ(x) = q(x)
dx
m
Q(x)
M(x)
n
M(x)+dM(x)
C
m
q(x)
n Q(x)+dQ(x)
弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系及其应用
弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系
设梁上作用有任意分布荷载
其集度 q = q(x)
y
规定：q(x)向上为正。
Pm x
将 x 轴的坐标原点取在
q(x)
梁的左端。
假想地用坐标为 x 和 x+dx的 两横截面 m-m 和 n-n 从梁 中取出 dx 一段。 m-m截面上内力为Q(x)， M(x) x+dx 截面处 则分别为 Q(x)+dQ(x), M(x)+dM(x) 。 由于dx很小，略去q(x) 沿dx的变化
A EC D
ED段：水平直线
1 0.5 1
3
R
QE右 = RA - P =31KN
A
DK段：向右下方倾斜的直线 81KN
M=5KN.m
K
B
1
RB
QK= - RB = - 29KN KB段：水平直线
31KN
+
QB左= - RB = - 29KN
(b)
29KN
设距 K 截面为 x的截面上 剪力 Q=0 。即
Q(b) Q(a) abq( x)dx
QB

QA

b
a
q(
x
)dx
式中，QA，QB分别为在 x=a , x=b 处两各横截面A及B上的剪力。 等号右边积分的几何意义是上述两横截面间分布荷载图的面积。
dM (x) Q(x) dx
若横截面 A，B 间无集中力偶作用则得
M B M A abQ( x)dx
最大剪力发生在DB段中的 任一横截面上
Qmax 27KN
RA 1 P 2
A C
P 3 RB
B D
200
115
1265
23.6
+
1.7 27
弯矩图
RA 1 P 2
P 3 RB
每段梁的弯矩图均为斜直线。且 A
C
梁上无集中力偶。故只需计算A、
B D
C、D、B各点处横截面上的弯矩。
200
115
1265
EB：水平直线 (—） QB右 P2 2KN
QA右 7KN QC左 3KN
QC右 1KN
QD 3KN Q = - 3KN
QB右 2KN
F点剪力为零,令 其距A点为x
Qx RA qx P1 0
X=5m
RA
P1 2KN
m 10KN .m
q 1KN m
A
c
D
RB
P2 2KN BE
4m
4m

7KN
3KN
+
1KN
F X =5m
4m
3m
2KN
+
-
3KN
弯矩图
AC：( )
MA0
M
c

4
RA

q 2
42

20
CD：( )
RA
P1 2KN
m 10KN .m
q 1KN m