开放性试题及答案1、用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD 沿着直线CM 剪成两部分,其中M 为AD 的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的Rt △BCE 就是拼成的一个图形.(1)用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt △BCE外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内.(2)若利用这两部分纸片拼成的Rt △BCE 是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边AB 和BC 的长分别为a 厘米、b 厘米,且a 、b 恰好是关于x 的方程01)1(2=++--m x m x 的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积.2、电脑CPU 蕊片由一种叫“单晶硅”的材料制成,未切割前的单晶硅材料是一种薄型圆片,叫“晶圆片”。
现为了生产某种CPU 蕊片,需要长、宽都是1cm 的正方形小硅片若干。
如果晶圆片的直径为10.05cm 。
问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张?请说明你的方法和理由。
(不计切割损耗)E B A C B A M C D M 图3 图4 图1 图2 第21题图3、在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内,要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH(见方案一),张丰同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC,∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形AECF(见方案二),请你通过计算,比较李颖同学和张丰同学的折法中,哪种菱形面积较大?4、如图,若把边长为1的正方形ABCD的四个角(阴影部分)剪掉,得一四边形A1B1C1D1.试问怎样剪,才能使剩下的图形仍为正方形,且剩下图形的面积为原正方形面积的95,请说明理由(写出证明及计算过程).5、甲船在点O处发现乙船在北偏东600的B处以每小时a海里的速度向北航行,甲船的速度是每小时3a海里,问甲船应以什么方向航行才能追上乙船。
A DEHFB CG(方案一)A DEFB C(方案二)第23题图6、已知:如图,AB是⊙O的直径,E是AB上的点,过点E作CG⊥AB,F是直线CG上任意上点,连结AF交⊙O于D,连结DC、AC、AG。
(1)探索AC、AD、AF、DC、FC间关系;(2)若CD=12,AD=16,AC=24,你能求出图中其它哪些线段?7. 已知:关于x的二次函数y=(c-a)x2-22bx+c+a,其中a、b、c是一三角形的三边,且∠C=900,(1)求证:二次函数的图象与x轴必有两个不同的交点;(2)如果A(x1,0)、B(x2,0)是上述图象和x轴的两交点,且满足x12+x22=12,求a:b:c;(3)已知n为大于1的自然数,设二次函数图象的顶点为C,连接AC、BC,点A1,A2,……,A n-1,把AC分成n 等分,过各分点作x轴的平行线,分别交BC于B1,B2,……,B n-1,求线段A1B1,A2B2,……,A n-1 B n-1的和。
(可用含n的式子来表示)(据题意可画出草图)8、已知:如图,点A在y轴上,⊙A与x轴交于B、C两点,与y轴交于点D(0,3)和点E(0,-1),(1)求经过B、E、C三点的二次函数的解析式;(2)若经过第一、二、三象限的一动直线切⊙A于点P(s,t),与x轴交于点M,连结PA并延长与⊙A交于点Q,设Q点的纵坐标为y,求y关于t的函数关系式,并观察图形写出自变量t的取值范围;(3)在(2)的条件下,当y=0时,求切线PM的解析式,并借助函数图象,求出(1)中抛物线在切线PM下方的点的横坐标x的取值范围。
9、如图,在直角坐标系中,等腰梯形ABB1A1的对称轴为y轴。
(1)请画出:点A、B关于原点O的对称点A2 、B2(应保留画图痕迹,不必写画法,也不必证明);(2)连结A1A2、B1B2(其中A2、B2为(1)中所画的点),试证明:x轴垂直平分线段A1A2、B1B2;(3)设线段AB两端点的坐标分别为A(-2 ,4)、B(-4 ,2),连结(1)中A2B2 ,试问在χ轴上是否存在点C ,使△A1B1C与△A2B2C的周长之和最小?或存在,求出点C的坐标(不必说明周长之和最小的理由);若不存在,请说明理由。
x10、周末某班组织登山活动,同学们分甲、乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发。
设甲、乙两组行进同一段所用的时间之比为2∶3 。
(1)直接写出甲、乙两组行进速度之比;(2)当甲组到达山顶时,乙组行进到山腰A 处,且A 处离山顶的路程尚有1.2千米。
试问山脚离山顶的路程有多远?(3)在题(2)所述内容(除最后的问句外)的基础上,设乙组从A 处继续登山,甲组到达山顶后休息片刻,再从原路下山,并且在山腰B 处与乙组相遇。
请你先根据以上情景提出一个相应的问题,再给予解答(要求:○1问题的提出不得再增添其他条件;○2问题的解决必须利用上述情景提供的所有..已知条件)答案:1、(1)如图(2)由题可知AB =CD =AE ,又BC =BE =AB +AE∴BC =2AB , 即a b 2=由题意知 a a 2,是方程01)1(2=++--m x m x 的两根∴⎩⎨⎧+=⋅-=+1212m a a m a a 消去a ,得 071322=--m m 解得 7=m 或21-=m 经检验:由于当21-=m ,0232<-=+a a ,知21-=m 不符合题意,舍去. 7=m 符合题意.∴81=+==m ab S 矩形答:原矩形纸片的面积为8c m 2.2、答案:可以切割出66个小正方形。
方法一:(1)我们把10个小正方形排成一排,看成一个长条形的矩形,这个矩形刚好能放入直径为10.05cm 的圆内,如图中矩形ABCD 。
∵AB =1 BC =10∴对角线2AC =100+1=101<205.10(2)我们在矩形ABCD 的上方和下方可以分别放入9个小正方形。
GF H ED C BA∵新加入的两排小正方形连同ABCD 的一部分可看成矩形EFGH ,矩形EFGH 的长为9,高为3,对角线9098139222=+=+=EG <205.10。
但是新加入的这两排小正方形不能是每排10个,因为:109910031022=+=+>205.10(3)同理:8925645822=+=+<205.1010625815922=+=+>205.10∴可以在矩形EFGH 的上面和下面分别再排下8个小正方形,那么现在小正方形已有了5层。
(4)再在原来的基础上,上下再加一层,共7层,新矩形的高可以看成是7,那么新加入的这两排,每排都可以是7个但不能是8个。
∵9849497722=+=+<205.10 11349647822=+=+>205.10(5)在7层的基础上,上下再加入一层,新矩形的高可以看成是9,这两层,每排可以是4个但不能是5个。
∵9781169422=+=+<205.1010681259522=+=+>205.10现在总共排了9层,高度达到了9,上下各剩下约0.5cm 的空间,因为矩形ABCD 的位置不能调整,故再也放不下一个小正方形了。
∴10+2×9+2×8+2×7+2×4=66(个)方法二:学生也可能按下面的方法排列,只要说理清楚,评分标准参考方法一。
可以按9个正方形排成一排,叠4层,先放入圆内,然后:(1)上下再加一层,每层8个,现在共有6层。
(2)在前面的基础上,上下各加6个,现在共有8层。
(3)最后上下还可加一层,但每层只能是一个,共10层。
这样共有:4×9+2×8+2×6+2×1=66(个)3、答案:(方案一) 4151254622AEHS S S =-=⨯-⨯⨯⨯V 矩形菱形 230(cm )=(方案二)设BE=x ,则CE=12-xAE ∴由AECF 是菱形,则AE 2=CE 22225(12)x x ∴+=- 11924x ∴= 2ABE S S S -V 矩形菱形= 111912525224=⨯-⨯⨯⨯35.21(m)≈比较可知,方案二张丰同学所折的菱形面积较大.4、:剪法是:当AA 1=BB 1=CC 1=DD 1=31或32时, 四边形A 1B 1C 1D 1为正方形,且S=95. 在正方形ABCD 中,AB=BC=CD=DA=1,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AA 1=BB 1=CC 1=DD 1,∴A 1B=B 1C=C 1D=D 1A.∴△D 1AA 1≌△A 1BB 1≌△B 1CC 1≌△C 1DD 1.∴D 1A 1=A 1B 1=B 1C 1=C 1D 1,∴∠AD 1A 1=∠BA 1B 1=∠CB 1C 1=∠DC 1D 1.∴∠AA 1D+∠BA 1B 1=90°,即∠D 1A 1B 1=90°.∴四边形A 1B 1C 1D 1为正方形.设AA 1=x ,则AD 1=1-x.∵正方形A 1B 1C 1D 1的面积=95, ∴S △AA1D1=91 即21x(1-x)=91, 整理得9x 2-9x+2=0.解得x 1=31,x 2=32. 当AA 1=31时,AD 1=32, 当AA 1=32时,AD 1=31. ∴当AA 1=BB 1=CC 1=DD 1=31或32时,四边形A 1B 1C 1D 1仍为正方形且面积是原面积的95. 5 解:设两船行驶t 小时后在A 处相遇,则BA =at ,OA =3at 。
延长AB 交OM 于C ,则AC ⊥OM ,∵∠NOB =600,∴∠BOC =300,设BC =b ,则OC =3b 。
(3at)2=(at+b)2+(3b)2,解得at =2b ,∴OA =3at =23b ,∴cos ∠AOC =OC/OA =1/2,即∠AOC =600,因此甲船的行驶方向应为北偏东300。
6. 解:(1)连结BD ,∵∠F 与∠FAB 互余,∠FAB 与∠B 互余,∴∠F =∠B ,∴∠F =∠ACD ,∴△FCA ∽△CDA ,DC :FC =AC :AF =AD :AC ,上述线段之间的关系有:①DC ·AF=AC ·FC ;②AC 2=AF ·AD ;③DC ·AC =FC ·AD 。
(2)①由DC ·AC =FC ·AD ,得FC =18;②由AC2=AF ·AD ,得AF =36,所以DF =20;③由垂径定理得AG =AC =24;④由△FDC ∽△FGA 得,FG =40,所以CE =11;⑤由勾股定理得AE =455;⑥由三角形相似得AB =455455576。
(注意:本类题目答得越多,挖掘得越深,得分越多。
)7.解:(1)∵∠C =900,∴c 2=a 2+b 2,△=4b 2+4(a 2+b 2-c 2)=4b 2>0,所以抛物线与x 轴必有两个不同的交点。