tan x 2 另解 lim (sin x ) lim ( 1 cos x) x 2
tan x 2
x 2
2 lim ( 1 cos x) x 2
sin x cos x 2 cos2 x 1
1
lim [(1 cos x )
2 x 2
cos2 x
显然f ( x)在(,1),(1,1),(1,)内连续.
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当x 1时,
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x lim f ( x ) lim cos 0. x 1 x 1 2

x 1
lim f ( x ) lim (1 x ) 2. lim f ( x ) lim f ( x )
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2e
1 x
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8. lim (sinx )
x 2
tan x
tan xln sin x 0 lim e e 1. x 2
sin x 1 2 lim ln ( 1 cos x) lim tan x lnsinx x 2 cos x 2 x 2 sin x 1 2 lim ( cos x ) 0, x 2 cos x 2
1 使 f ( ) f ( ) 成立. 2
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n 2 )n (1 ) ( 3 3
n
3 e 3.
0
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二、关于函数的连续性
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1 e x 1 , x 0 , 求f ( x )的间断点并说明类型 . 例2 设 f ( x ) ln(1 x ), 1 x 0
1 12 2. lim ( 3 ) x 2 x 2 x 8
x 2 2 x 4 12 lim x 2 ( x 2)( x 2 2 x 4)
x4 1 lim 2 . x 2 x 2 x 4 2
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且f (0) b 0, f (a b) a[1 sin( a b)] 0.
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若f (a b) 0, 则a b即为方程的根； 若f (a b) 0,
则由零点定理，至少存 在一点 (0, a b), 使f ( ) 0,
即为方程的根.
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18/13
1 若F (0) 0, F ( ) 0, 则 2
1 1 F (0) F ( ) [ f ( ) f (0)]2 0. 2 2 1 由零点定理知, (0, ), 使F ( ) 0. 2 1 即 f ( ) f ( )成立. 2 1 综上, 必有一点 (0, ] (0,1), 2
lim
x 0
2e
1 x
1 x
e ( 2e
4 x
4 x
4 x
e )
4 x
3 x
e (1 e )
1 1,
1 x
sin x 2 e sinx lim ( ) lim ( ) 4 4 x x0 1 e x x 0 x 1 e x
21 1
6、利用极限存在准则 f ( x ) A lim 7、利用 xlim x x x
0
0

f ( x ) lim f ( x) A
x x0
8、利用 lim f ( x) a 0, limg( x) b lim f 下页 返回 结束
a b c 9. lim ( ) x 0 3
x x x
1 x
10. lim(1 2 n 3 )
n
1 n n
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解
1 2x 3 ( x 2)2( x 4) 4 1. lim lim . x 4 x 4 ( x 4)( 1 2 x 3) 3 x 2
1 x 1 x
x 0
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sin x 7. lim( ) 1. 4 x 0 x 1 ex
2 e
1 x
sin x 2 e sinx lim ( ) lim( ) 4 4 x 0 1 e x x x 0 1 e x x
综上所述，方程x a sin x b至少有一个正根， 且不超过a b.
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例5 设f ( x )在闭区间 [0,1]上连续, 且f (0) f (1),
1 证明 令 F ( x ) f ( x ) f ( x ), 2
1 证明必有一点 (0,1), 使得f ( ) f ( ). 2
x 1 x 1 x 1
故f ( x)在x 1间断.
lim f ( x ) lim f ( x)
x 1 x 1
当x 1时,
x lim f ( x ) lim cos 0. x 1 x 1 2

f (1) cos

2
0
lim f ( x ) lim ( x 1) 0.
sin 2 x lim 2 x 0 x sin x
1 . 2
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7/13
5. lim
x 1
ln(1 3 x 1) arcsin( 23 x 2 1)
3
lim
x 1
x 1
23 x 2 1
1 lim 3 x 1 2 x 1

1 1 2 x sin x sin x x lim 3. l im x x ( x ) 2 x 2 2x2 1
2
lim(
x
1 2 x
2

sin 1 x
1 x
1 ) . 2
1 sin2 x 1 4. lim x x 0 ( e 1) ln( 1 sin x )
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10. lim(1 2 3 )
n n
1 n n
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解法1
1 n 2 3 (1 2 3 ) 3[1 ( ) ( ) ] 3 n 3 , 3 3 1 1 又 limn 3 l i m 3 x 1,由夹逼准则 l im(1 2 n 3 n ) n 3 n x
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例1
求下列极限
1 12 2. lim ( 3 ) x 2 x 2 x 8
1 sin2 x 1 4. lim x x 0 ( e 1) ln( 1 sin x )
1 2x 3 1. lim x 4 x 2
1 x sin x 3. l im x 2x2 1
x 0
x 0是f ( x)的第一类（跳跃）间断 点.
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14/13
x 1, x 1 例3 讨论f ( x ) 的连续性. x cos , x 1 2
解
将f ( x )改写成
1 x , x 1 x f ( x ) cos , 1 x 1 2 x 1, x 1
1/13
第一章 函数、极限、连续
习题课
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一、
关于极限的计算
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1、利用极限的运算法则和函数的连续性 （不满足运算条件的可通过：分解因式、有理化、 分离无穷小、通分等方法恒等变形） 2、利用无穷小的性质（无穷小与有界量乘积 是无穷小；无穷小与无穷大互为倒数） 3、 利用等价无穷小代换（注意：一定是因子） 4、利用变量代换 5、利用两个重要极限
n
n 1 n n 1 ln( 1 2 n 3 n ) n n n
1 2 ( )n ( )n 3 lim 3 n n
1 n n
1 n n
解法2 l im (1 2 n 3 ) lime
lime
n
1 1 2 ln 3 n [1 ( ) n ( ) n ] n 3 3
x 1 x 1
故f ( x )在x 1连续.
f ( x )在( ,1) ( 1,)连续.
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例4 证明方程x a sin x b (a , b 0)至少有一个正根， 且不超过a b.
证 令 f ( x ) x a sinx b, 则f ( x )在[0, a b]上连续，
]
sin x cos x 2
e 0 1.
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a b c 9. lim ( ) x 0 3
x x x
1 x
lime
x 0
1 a x b x c x ln x 3
3 abc.
1 a x bx c x lim ln x 0 x 3 1 a x 1 bx 1 c x 1 lim ln( 1 ) x 0 x 3 1 a x 1 bx 1 c x 1 1 lim ( ) ln (abc), 3 x 0 x x x 3
3e
3.
1
1 n 2 n n n (1 2 3 ) 3 lim [1 ( ) ( ) ] 解法3 lim n n 3 3
n 2 )n 1 n 2 n (1 ) ( 3 lim {[1 ( ) ( ) ] 3 3 } n 3 3
1 n n
1
解