2015年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2015•湖北）i为虚数单位，i607的共轭复数为（）A．i B．﹣i C．1D．﹣12．（5分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石B．169石C．338石D．1365石3．（5分）（2015•湖北）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A．212B．211C．210D．294．（5分）（2015•湖北）设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）C．对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）D．对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t）5．（5分）（2015•湖北）设a1，a2，…，a n∈R，n≥3．若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，则（）A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件6．（5分）（2015•湖北）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A sgn[g（x）]=sgnxB sgn[g（x）]=﹣sgnxC sgn[g（x）]=sgn[f（x）]D sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）]7．（5分）（2015•湖北）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y≥”的概率，P2为事件“|x﹣y|≤”的概率，P3为事件“xy≤”的概率，则（）A．P1＜P2＜P3B．P2＜P3＜P1C．P3＜P1＜P2D．P3＜P2＜P18．（5分）（2015•湖北）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A．对任意的a，b，e1＞e2B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C．对任意的a，b，e1＜e2D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e29．（5分）（2015•湖北）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A．77 B．49 C．45 D．3010．（5分）（2015•湖北）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[t n]=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A．3B．4C．5D．6二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）（2015•湖北）已知向量⊥，||=3，则•=．12．（5分）（2015•湖北）函数f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|的零点个数为．13．（5分）（2015•湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=m．14．（5分）（2015•湖北）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2．（1）圆C的标准方程为；（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：①=；②﹣=2；③+=2．其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）选修4-1：几何证明选讲15．（5分）（2015•湖北）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，则=．选修4-4：坐标系与参数方程16．（2015•湖北）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，曲线C的参数方程为（t为参数），l与C相交于A，B两点，则|AB|=．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（11分）（2015•湖北）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0 π2πxAsin（ωx+φ）0 5 ﹣5 0（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．18．（12分）（2015•湖北）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）（2015•湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD 中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．20．（12分）（2015•湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W 12 15 18P 0.3 0.5 0.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．（1）求Z的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．21．（14分）（2015•湖北）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON 可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．22．（14分）（2015•湖北）已知数列{a n}的各项均为正数，b n=n（1+）n a n（n∈N+），e为自然对数的底数．（1）求函数f（x）=1+x﹣e x的单调区间，并比较（1+）n与e的大小；（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；（3）令c n=（a1a2…a n），数列{a n}，{c n}的前n项和分别记为S n，T n，证明：T n＜eS n．答案：1、解：i607=i604+3=i3=﹣i，它的共轭复数为：i．故选：A．2、解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，故选：B．3、解：已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，可得，可得n=3+7=10．（1+x）10的展开式中奇数项的二项式系数和为：=29．故选：D．4、解：正态分布密度曲线图象关于x=μ对称，所以μ1＜μ2，从图中容易得到P（X≤t）≥P（Y≤t）．故选：C．5、解：由a1，a2，…，a n∈R，n≥3．运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）≥（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，若a1，a2，…，a n成等比数列，即有==…=，则（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，即由p推得q，但由q推不到p，比如a1=a2=a3=…=a n=0，则a1，a2，…，a n不成等比数列．故p是q的充分不必要条件．故选：A．6、解：由于本题是选择题，可以常用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），不妨令f（x）=x，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn[g（x）]=﹣sgnx．所以A不正确，B正确，sgn[f（x）]=sgnx，C不正确；D正确；对于D，令f（x）=x+1，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x﹣1，sgn[f（x）]=sgn（x+1）=；sgn[g（x）]=sgn（﹣x﹣1）=，﹣sgn[f（x）]=﹣sgn（x+1）=；所以D不正确；故选：B．7、解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）：P1：D（0，），F（，0），A（0，1），B（1，1），C（1，0），则阴影部分的面积S1=1×1﹣=1﹣=，S2=1×1﹣2×=1﹣=，S3=1×+dx=+lnx|=﹣ln=+ln2，∴S2＜S3＜S1，即P2＜P3＜P1，故选：B．8、解：由题意，双曲线C1：c2=a2+b2，e1=；双曲线C2：c′2=（a+m）2+（b+m）2，e2=，∴=﹣=，∴当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2，故选：D．9、解：∵A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}∵A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，∴A⊕B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣3），（2，﹣3），（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，﹣1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，1），（1，﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣3，﹣2）}共45个元素故选：C．10、解：∵[t]=1，∴t∈[1，2），又∵[t2]=2，∴t2∈[2，3），∴t∈[，），又t2∈[2，3），∴t4∈[4，9），∴[t4]=4，∴正整数n的最大值4故选：B．11、解：由⊥，得•=0，即•（）=0，∵||=3，∴．故答案为：9．12、解：函数f（x）的定义域为：{x|x＞﹣1}．f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|=2sinx﹣|ln（x+1）|=sin2x﹣|ln（x+1）|，分别画出函数y=sin2x，y=|ln（x+1）|的图象，由函数的图象可知，交点个数为2．所以函数的零点有2个．故答案为：2．13、解：设此山高h（m），则BC=h，在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．根据正弦定理得=，解得h=100（m）故答案为：100．14、解：（1）∵圆C与x轴相切于点T（1，0），∴圆心的横坐标x=1，取AB的中点E，∵|AB|=2，∴|BE|=1，则|BC|=，即圆的半径r=|BC|=，∴圆心C（1，），则圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2，故答案为：（x﹣1）2+（y﹣）2=2．（2）∵圆心C（1，），∴E（0，），又∵|AB|=2，且E为AB中点，∴A（0，﹣1），B（0，+1），∵M、N在圆O：x2+y2=1上，∴可设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），∴|NA|=====，|NB|====，∴===，同理可得=，∴=，①成立，﹣=﹣（）=2，②正确．+=+（）=，③正确．故答案为：①②③．15、解：由切割线定理可知：PA2=PB•PC，又BC=3PB，可得PA=2PB，在△PAB与△PAC中，∠P=∠P，∠PAB=∠PCA（同弧上的圆周角与弦切角相等），可得△PAB∽△PAC，∴==．故答案为：．16、解：由ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，得y﹣3x=0，由C的参数方程为（t为参数），两式平方作差得：x2﹣y2=﹣4．联立，得，即．∴A（），B（），∴|AB|=．故答案为：．17、解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：ωx+φ0 π2πxAsin（ωx+φ）0 5 0 ﹣5 0且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．18、解：（1）设a1=a，由题意可得，解得，或，当时，a n=2n﹣1，b n=2n﹣1；当时，a n=（2n+79），b n=9•；（2）当d＞1时，由（1）知a n=2n﹣1，b n=2n﹣1，∴c n==，∴T n=1+3•+5•+7•+9•+…+（2n﹣1）•，∴T n=1•+3•+5•+7•+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1）•，∴T n=2+++++…+﹣（2n﹣1）•=3﹣，∴T n=6﹣．19、解法1）（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，所以BC⊥平面ABCD．而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE．又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．而PC∩CB=C，所以DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE．又PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF．由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）如图1，在面BPC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ACBD的交线．由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD．所以DG⊥DF，DG⊥DB故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，设PD=DC=1，BC=λ，有BD=，在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DGF=∠FDB=，则tan=tan∠DPF===，解得．所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．（解法2）（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD=DC=1，BC=λ，则D（0，0，0），P（0，0，1），B（λ，1，0），C（0，1，0），=（λ1，﹣1），点E是PC的中点，所以E（0，，），=（0，，），于是=0，即PB⊥DE．又已知EF⊥PB，而ED∩EF=E，所以PB⊥平面DEF．因=（0，1，﹣1），=0，则DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC．由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个矩形，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，则运用向量的数量积求解得出cos==，解得．所以所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．20、（12分）解：（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，则有，①如图1，目标函数为：z=1000x+1200y．当W=12时，①表示的平面区域如图1，三个顶点分别为A（0，0），B（2.4，4.8），C（6，0）．将z=1000x+1200y变形为，当x=2.4，y=4.8时，直线l：在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=2.4×1000+4.8×1200=8160．当W=15时，①表示的平面区域如图2，三个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C （7.5，0）．．将z=1000x+1200y变形为，当x=3，y=6时，直线l：在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=3×1000+6×1200=10200．当W=18时，①表示的平面区域如图3，四个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（6，4），D（9，0）．将z=1000x+1200y变形为：，当x=6，y=4时，直线l：y=﹣56x+z1200在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=6×1000+4×1200=10800．故最大获利Z的分布列为：Z 8160 10200 10800P 0.3 0.5 0.2因此，E（Z）=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708（2）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率P1=P（Z＞10000）=0.5+0.2=0.7，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为：21、解：（1）∵|OM|≤|MN|+|NO|=3+1=4，当M，N在x轴上时，等号成立，同理|OM|≥|MN|﹣|NO|=3﹣1=2，当D，O重合，即MN⊥x轴时，等号成立．∴椭圆C的中心为原点O，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为．（2）①当直线l的斜率k不存在时，直线l为：x=4或x=﹣4，都有S△OPQ=，②直线l的斜率k存在时，直线l为：y=kx+m，（k），由消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，∵直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣16）=0，即m2=16k2+4，①，由，可得P（，），同理得Q（，），原点O到直线PQ的距离d=和|PQ|=•|x P﹣x Q|，可得S△OPQ=|PQ|d=|m||x P﹣x Q|=|m|||=||②，将①代入②得S△OPQ=||=8||，当k2＞时，S△OPQ=8（）=8（1+）＞8，当0≤k2＜时，S△OPQ=8||=﹣8（）=8（﹣1+），∵0≤k2＜时，∴0＜1﹣4k2≤1，≥2，∴S△OPQ=8（﹣1+）≥8，当且仅当k=0时取等号，∴当k=0时，S△OPQ的最小值为8，综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，三角形OPQ的面积存在最小值为8．22、（1）解：f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1﹣e x．当f′（x）＞0，即x＜0时，f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞0时，f（x）单调递减．故f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），单调递减区间为（0，+∞）．当x＞0时，f（x）＜f（0）=0，即1+x＜e x．令，得，即．①（2）解：；=；．由此推测：=（n+1）n．②下面用数学归纳法证明②．（1）当n=1时，左边=右边=2，②成立．（2）假设当n=k时，②成立，即．当n=k+1时，，由归纳假设可得=．∴当n=k+1时，②也成立．根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立．（3）证明：由c n的定义，②，算术﹣几何平均不等式，b n的定义及①得T n=c1+c2+…+c n=====＜ea1+ea2+…+ea n=eS n．即T n＜eS n．。