数学奥赛辅导
奇数、偶数
[教学目标]
1、知识与技能
通过教学让学生理解并掌握整数的奇偶性，培养学生学习数学的兴趣。

2、过程与方法
通过讨论，交流，启发，分析等活动过程，培养学生应用数学知识解决问题的能力。

3、情感与价值
培养学生团结协作能力，感受团队合作的力量，享受愉悦，发现数学中的美。

[教学重难点]整数的奇偶性
[教学方法] 分层教学——小组合作学习
[教学手段]启发引导，多媒体平台
[教学过程]
Ⅰ.整数的奇偶性
将全体整数分为两类，凡是2的倍数的数称为偶数，否则称为奇数.因此，任一偶数可表为2m（m∈Z），任一奇数可表为2m+1或2m－1的形式.奇、偶数具有如下性质：
（1）奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；
奇数±偶数=奇数；偶数×偶数=偶数；
奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数；
（2）奇数的平方都可表为8m+1形式，偶数的平方都可表为8m或8m+4的形式（m∈Z）.
（3）任何一个正整数n，都可以写成l
n m2
的形式，其中m为非负整数，l为奇数.
这些性质既简单又明显，然而它却能解决数学竞赛中一些难题.
赛题精讲
例1．设正整数d不等于2，5，13.证明在集合｛2，5，13，d｝中可以找到两个元素a,b，使得a b－1不是完全平方数.
（第27届IMO 试题）
【解】由于2×5－1=32，2×13－1=52，5×13－1=82，因此，只需证明2d －1，5d －1，13d －1中至少有一个不是完全平方数. 用反证法，假设它们都是完全平方数，令
2d －1=x 2 ①
5d －1=y 2 ②
13d －1=z 2 ③
x,y,z ∈N *
由①知，x 是奇数，设x =2k －1，于是2d －1=（2k －1）2，即d =2k 2
－2k+1，这说
明d 也是奇数.因此，再由②，③知，y,z 均是偶数.
设y=2m ,z =2n ,代入③、④，相减，除以4得，2d =n 2－m 2=(n+m)(n －m)，从而n 2－m 2为偶数，n ，m 必同是偶数，于是m+n 与m －n 都是偶数，这样2d 就是4的倍数，即d 为偶数，这与上述d 为奇数矛盾.故命题得证.
例2．设a 、b 、c 、d 为奇数，bc ad d c b a =<<<<并且,0，证明：如
果a +d =2k ，b+c=2m ，k,m 为整数，那么a =1. （第25届IMO 试题）
【证明】首先易证
：.22m k >从而ad
d a d a c b a d m k 4)()(,(22+-=+->->于是因为 22)(4)(c b bc c b +=+->.再由,222,2,22a b a b b c a d bc ad k m m k -=⋅-⋅-=-==可得
因而))(()2(2a b a b a b m k m -+=⋅-- ①
显然，a b a b -+,为偶数，a b m k --2为奇数，并且a b a b -+和只能一个
为4n 型
偶数，一个为4n+2型偶数（否则它们的差应为4的倍数，然而它们的
差等于2a 不是4
的倍数），
因此,如果设f e a b m k ⋅=--2，其中e,f 为奇数，那么由①式及a b a b -+,的特性就有
（Ⅰ）⎩⎨⎧=-=+-.2,21
f a b e a b m 或（Ⅱ）⎩⎨⎧=-=+-.2,21e a b f a b m 由f a b a b a b ef m k 222≤-<-≤-=- 得e=1，
从而.2a b f m k --=于是（Ⅰ）或（Ⅱ）分别变为
⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+--)2(2,21a b a b a b m k m 或⎪⎩⎪⎨⎧=--=+--12
),2(2m m k a b a b a b 解之，得1122-+-=⋅m m k a .因a 为奇数，故只能a =1.
课堂小结
本节课主要需啊系了整数的奇偶性
（1）奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；
奇数±偶数=奇数；偶数×偶数=偶数；
奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数；
（2）奇数的平方都可表为8m+1形式，偶数的平方都可表为8m或8m+4的形式（m∈Z）.
（3）任何一个正整数n，都可以写成l
n m2
的形式，其中m为非负整数，l为奇数.
作业设计
1．设n是正整数，k是不小于2的整数.试证：k n可表示成n个相继奇数的和.
教学反思
在本节课中，教师充分发挥其主导作用，面向全体学生，分层设计问题、分组解决问题，有效应用现代教学媒体，以学生自主学习为主要活动方式，注重学法指导，激发学生积极性，营造了一个宽松、欢乐、畅想的
学习环境。