矩阵及其秩在高等代数中的应用玲毓师高等专科学校数学教育摘要：在矩阵理论中,矩阵的秩是一个重要的概念。

它是矩阵的一个数量特征,而且是初等变换下的不变量。

矩阵的秩与矩阵是否可逆、线性方程组的解、极大无关组的情况等都有着密切的联系。

通过引用了大量的实例说明了矩阵及其秩是高等代数中的一个重要的概念,希望通过本文的介绍可以让读者对矩阵及其秩有更深的了解。

关键词：矩阵；秩；变换；可逆1 引言矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值,它常见于很多科学中,如：线性代数、线性规划、统计分析、以及组合数学等,而本文主要介绍其在高等代数中的应用。

高等代数是用辩证观点和严密的逻辑推理方法来体现的一门课程它常见于很多科学中, 矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值对其在高等代数中的应用概括为：求解一般的线性方程组,判定向量组的线性相关性,求极大无关组,化二次型为标准型,求规正交基,对称变换,正交变换的判断,欧氏空间中的积的表示。

这就使矩阵成为数学中一个极其重要而且广泛的工具.本文对矩阵的基本理论及其秩的应用进行具体阐述。

2矩阵的基本理论定义2.1 矩阵是一简化了的表格,一般地111212122212n n m m mn a a a a a a⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭称为n m ⨯矩阵,它有m 行、n 列,共n m ⨯个元素,其中第i 行、第j 列的元素用ij a 表示.通常我们用大写黑体字母,,A B C表示矩阵.为了标明矩阵的行数m 和列数n ,可用m n A ⨯或()ijm na ⨯表示.矩阵既然是一表,就不能像行列式那样算出一个数来.定义2.2 所有元素均为0的矩阵,称为零矩阵,记作0.定义2.3 如果矩阵A 的行、列数都是n ,则称A 为n 阶矩阵,或称为n 阶方阵. 定义2.4 令A 是数域F 上一个n 阶矩阵.若是存在F 上n 阶矩阵B ,使得,AB BA I ==那么A 叫作一个可逆矩阵,而B 叫作A 的逆矩阵.用1A -来表示.定义2.5 主对角线上元素全为1的对角矩阵,叫做单位矩阵,记为I ,即10001001I ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭n ⨯1矩阵（只有一行）又称为n 维行向量；1⨯n 矩阵（只有一列）又称为n 维列向量.行向量、列向量统称为向量.向量通常用小写黑体字母a ,b ,x ,y 表示.向量中的元素又称为向量的分量.11⨯矩阵因只有一个元素,故视之为数量,即()a a =.定义2.6 把矩阵A 的行与列互换所得到的矩阵称为矩阵A 的转置矩阵,记为TA ,即111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭ ,112111222212m m T nnmn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭若方阵A 满足TA A =,则称A 为对称矩阵.定义2.7n 阶矩阵有一条从左上角到右下角的主对角线.n 阶矩阵A 的元素按原次序构成的n 阶行列式,称为矩阵A 的行列式,记作A .定义2.8 设有n 阶方阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭的行列式A 有2n 个代数余子式ij A （j i ,=1,2,…,n ）,将它们按转置排列,得到矩阵112111222212n n nnnn A A A A A A A *⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称A *为矩阵A 的伴随矩阵定义2.9 利用线性方程组的系数和常数项可以排成此表111211212222123n nm m m mnm a a a b a a a b aa a ab ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭则此表称为线性方程组的增广矩阵.定义2.10 在一个s 行t 列矩阵中,任取k 行k 列(,)k s k t ≤≤.位于这些行列交点处的元素（不改变元素的相对位置）所构成的k 阶行列式叫作这个矩阵的一个k 阶子式. 定义2.11 向量组12{,,}n ααα的一个部分向量组12{,,}i i ir ααα叫作一个极大线性无关部分组(简称极大无关组)()i 12,,,i i ir ααα线性无关；()ii 每一,1,,,j j n α=都可以由12,,,i i ir ααα,线性表示. 定义2.12 设F 是一个数域,F 上n 元二次齐次多项式22212111222121213131,1(,,,)222n nn n n n n n q x x x a x a x a x a x x a x x a x x --=+++++++叫作F 上一个n 元二次型.定义2.13 R 上一个n 元二次型12(,,,)n q x x x 可以看成定义在实数域上n 个变量的实函数.如果对于变量12,,,n x x x 的每一组不全为零的值,函数值12(,,,)n q x x x 都是正数,那么就称12(,,,)n q x x x 是一个正定二次型.3 秩的基本理论定义3.1 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫作这个这个矩阵的秩.若一个矩阵没有不等于零的子式,就认为这个矩阵的秩为零.性质（1） ()0r A =,当且仅当A 是零矩阵. （2） ()r A n =,当且仅当0A ≠.（3） 设A 是m n ⨯矩阵,则()min(,)r A m n ≤. （4） (),()0,r A r kA ⎧=⎨⎩0k k ≠=（5） ()()A O A O r r r A r B BC B O B ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.矩阵可以进行加法、减法、数乘、阶乘、伴随等一系列运算.而矩阵经过运算后所得到的新矩阵的秩往往也与原矩阵的秩有一定的关系.定理3.1 两矩阵和的秩不超过两矩阵秩的和,即：设,A B 均为m n ⨯矩阵,则()()()r A B r A r B +≤+推论3.1.1两矩阵差的秩不小于两矩阵秩的差,即：设,A B 均为m n ⨯矩阵,则()()()r A B r A r B -≥-推论3.1.2设12,,k A A A 均为m n ⨯矩阵,且12()()()1k r A r A r A ====,则12()k r A A A k +++≤定理3.2 矩阵的乘积的秩不超过各因子的秩.即：设A 是m n ⨯矩阵,B 是n s ⨯矩阵,则()min{(),()}r AB r A r B ≤定理3.3 设A 是m n ⨯矩阵,p 是m 阶可逆矩阵,Q 是n 阶可逆矩阵,则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===推论3.3.1设A 是m n ⨯矩阵,则()r A r =,当且仅当存在m 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q ,使得000I A P Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭.定理3.4 设,A B 均为n 阶方阵。

则()()()r AB A B r A r B ++≤+.定理3.5 设,A B 都是m n ⨯矩阵,C D 都是m n ⨯矩阵,则()()()r AB CD r A C r B D -≤-+-.定理3.6 设A 是m n ⨯矩阵,()r A r =,则必存在m r ⨯矩阵B 与r n ⨯矩阵C ,且()()r B r C r ==,使得A BC =.4 矩阵及其秩的理论应用定理4.1 初等变换不改变矩阵的秩.定理4.2 （线性方程组可解的判别法）线性方程组11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=+++=+++=有解的充要条件是：它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.定理4.3 设线性方程组11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=+++=+++=的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩r .那么当r 等于方程组所含未知量的个数n 时, 方程组有唯一解；当r n <时,方程组有无穷多解.定理4.4 设方程组11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=+++=+++=有解,它的系数矩阵A 和增广矩阵A 的共同秩是0r ≠.那么可以在方程组的m 个方程 中选出r 个方程,使得剩下的m r -个方程中的每一个都是这r 个方程的结果,因而解方程组可以归结为解由这r 个方程所组成的线性方程组.定理4.5 一个齐次线性方程组有非零解的充要条件是：它的系数矩阵的秩r 小于它的未知量的个数n .定理4.6 n 阶矩阵A 可逆当且仅当A 的秩等于n .定理4.7 向量组的所以极大无关组多含向量个数相同,称该个数为向量组的秩. 定理4.8 两个等价向量组的秩相同.定理4.9 复数域上两个n 阶对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩. 两个复二次型等价的充要条件是它们有相同的秩.定理4.10 实数域上两个n 元二次型等价的充要条件是它们有相同的秩和符号差. 定理4.11 实数域上二次型12(,,,)n q x x x 是正定的充要条件是它的秩和符号差都等于n .12(,,,)n q x x x 是负定的充要条件是它的秩等于n 符号差等于n -.5 实例应用例1.证明一个n 阶矩阵A 的秩≤1当且仅当A 可以表为一个1n ⨯矩阵和一个1n ⨯矩阵的乘积.证：必要性当秩0A =时,有A =000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()000；当秩A=1时,A 中任意两行成比例,不失一般性,可设A =1112121n n n n n a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭而易得A =12n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()12,n b b b .充分性 如果A =12n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()12,n b b b ,那么秩min A ≤()11,n n a b b a ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭秩秩 1.≤例2.A =121234145-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭,将二次型22123121223()224q x x x x x x x x x =+-+化为标准型并求相应的非奇异线性变换.解：该二次型的矩阵A =210112020-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭对A 施行行和列同样的初等变换,同时对I 只施行列的初等变换：A =121112102100100234120012012010145200220024008--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→-→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,I =100010010010012010100110112114001001001001001-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则令012114001P -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,则经非奇异线性变换X PY = 原二次型化为2221238y y y +-.例3 在欧氏空间3R 中,求基123(1,1,1),(0,1,2),(2,0,3)ααα===的在3R 中的一个规正交基.解：取11121221221111222,,(0,1,2)(1,0,1),(αγααγβαγααγγγγβγβ===-=-==-== 3,23133121122,,αγβγβαγγγγγγ=--3311322,,αγγγγ=--(2,0,3)= =555(,,).636-333βγβ== 于是{}123,,γγγ就是3R 的一个规正交基. 例4.解线性方程组123412412341234235243232829521x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-=-⎪⎨-++=⎪⎪+--=-⎩ 解：根据方程组可知增广矩阵是123152401312328129521⎛⎫ ⎪--⎪ ⎪-- ⎪---⎝⎭将其进行初等变换得131231512012315221131130063130010012626006313000000000001262600000000⎛⎫--⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪--- ⎪⎪→→→⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭对应的线性方程组是124132,22x x x +-=- 34113.26x x +=得到原方程组的一般解：12431222x x x =--+ , 34131.62x x =- 例5 设A 为n 阶方阵,且秩为r .证明存在n 阶方阵B 、C .使A BC =,且B 的秩等于C 的秩等于r .解： ()R A r =,则存在n 阶矩阵P 和Q ,使000r I PAQ ⎛⎫=⎪⎝⎭.则 1111000000000rr r I I I A P Q P Q ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11000000rrI I P Q --⎡⎡⎤⎤⎛⎫⎛⎫=⎢⎢⎥⎥ ⎪ ⎪⎢⎢⎝⎭⎝⎭⎦⎦⎣⎣ 令1000rI B P -⎛⎫=⎪⎝⎭1000rI C Q -⎛⎫= ⎪⎝⎭则A BC = 且B 、C 为可逆矩阵.===.R B R C R A r()()()6结束语：在矩阵理论中,矩阵的秩是一个重要的概念。